Question

如圖，已知拋物線的頂點坐標為Q，且與軸交于點C，與軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥軸，交AC于點D．

(1)求該拋物線的函數關系式；

(2)當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標；

(3)在問題(2)的結論下，若點E在軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）

∵拋物線的頂點為Q（2，-1）

∴設

將C（0，3）代入上式，得

∴， 即

                         

（2）分兩種情況：

                    ①(3分)當點P₁為直角頂點時,點P₁與點B重合(如圖)

 令=0,  得

解之得, 

∵點A在點B的右邊,  ∴B(1,0), A(3,0)

∴P₁(1,0)

②(4分)解:當點A為△APD₂的直角頂點是(如圖)

∵OA=OC,  ∠AOC=,  ∴∠OAD₂=

當∠D₂AP₂=時, ∠OAP₂=,  ∴AO平分∠D₂AP₂

又∵P₂D₂∥軸,  ∴P₂D₂⊥AO,  ∴P₂、D₂關于軸對稱.

設直線AC的函數關系式為

將A(3,0), C(0,3)代入上式得

,      ∴

∴

∵D₂在上, P₂在上,

∴設D₂(,), P₂(,)

∴()+()=0

,   ∴,  (舍)

∴當=2時,

==-1

 ∴P₂的坐標為P₂(2,-1)(即為拋物線頂點)

∴P點坐標為P₁(1,0),  P₂(2,-1)

            (3)解: 由題(2)知,當點P的坐標為P₁(1,0)時,不能構成平行四邊形

當點P的坐標為P₂(2,-1)(即頂點Q)時,

平移直線AP(如圖)交軸于點E,交拋物線于點F.

當AP=FE時,四邊形PAFE是平行四邊形

∵P(2,-1),  ∴可令F(,1)

∴

解之得: , 

∴F點有兩點,即F₁(,1), F₂(,1)