Question

如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，連接BE、DE．
（1）證明：BE=DE；
（2）設(shè)△ADE、△CDE的面積分別為S₁、S₂，已知AC=4，|S₁-S₂|=2，求AE的長度．

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DAE=∠BAE=45°，AD=AB，
在△ADE和△ABE中
，
∴△ADE≌△ABE，
∴BE=DE；

（2）連DB交AC與O點，如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴對角線AC與DB互相垂直平分，
∴OD=AC=2，
∴S₁=•OD•AE=AE，S₂=•OD•EC=EC，
而EC=4-AE，
∴S₂=4-AE，
而|S₁-S₂|=2，即|AE-4+AE|=2，
∴|AE-2|=1，
∴AE-2=1或AE-2=-1，
∴AE=3或1．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DAE=BAE=45°，AD=AB，易證得△ADE≌△ABE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連DB交AC與O點，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OD=AC=2，OD⊥AC；再利用三角形的面積公式得S₁=•OD•AE=AE，S₂=•OD•EC=EC，而EC=4-AE，則有|AE-4+AE|=2，然后根據(jù)絕對值的意義有AE-2=1或AE-2=-1，即可求得AE的值．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形四邊都相等，四個角都為90°，對角線互相垂直平分，并且平分每一組內(nèi)角．也考查了絕對值的意義、三角形的面積公式以及全等三角形的判定與性質(zhì)．