Question

13．如圖，正方形ABCD的周長(zhǎng)為40米，甲、乙兩人分別從A、B同時(shí)出發(fā)，沿正方形的邊行走，甲按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娦?5米，乙按順時(shí)針?lè)较蛎糠昼娦?0米．
（1）出發(fā)后2分鐘時(shí)，甲乙兩人第一次在正方形的頂點(diǎn)處相遇；
（2）如果用記號(hào)（a，b）表示兩人行了a分鐘，并相遇過(guò)b次，那么當(dāng)兩人出發(fā)后第一次處在正方形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)位置時(shí)，對(duì)應(yīng)的記號(hào)應(yīng)是（6，13）．

Answer 1

分析 （1）由于兩人不是在同一頂點(diǎn)出發(fā)，所以?xún)扇说谝淮卧谕�一頂點(diǎn)相遇，需要通過(guò)的距離之和等于周長(zhǎng)的整數(shù)倍再加一條邊的長(zhǎng)度，即85t=40n+10，其中n是第一次在同一頂點(diǎn)相遇之前通過(guò)的周長(zhǎng)的個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)甲走x米，則乙走$\frac{30}{55}$x=$\frac{6}{11}$x米，由于相遇在正方形頂點(diǎn)，所以x和$\frac{6}{11}$x都要為10的整數(shù)倍且x+$\frac{6}{11}$x-10=$\frac{17}{11}$x-10，為40的整數(shù)倍，根據(jù)（a-$\frac{10}{85}$）×85=40（b-1）+20，即可求解．

解答 解：（1）∵兩個(gè)人的速度之和是85米每分鐘，$\frac{10}{85}$分鐘后兩人第一次相遇．如果要兩人在頂點(diǎn)相遇，
則：每個(gè)人所走的路程均為10的整數(shù)倍，且兩個(gè)人所走路程之和為10+40n（n是指邊的條數(shù)）．
S=10+40n，n為0、1、2、3…n    ①
S_甲=55t，可以被10整除，t為2、4、6…②
S_乙=30t，也可以被10整除，t為甲方取值即可，
∵S=S_甲+S_乙，
整理得：55t+30t=10+40n，即：85t=10+40n，
∴n=$\frac{85t-10}{40}$③，
由①②③得：當(dāng)t=2時(shí)，兩人第一次在頂點(diǎn)相遇．
此時(shí)甲走了110米，乙走了60米，相遇在點(diǎn)D．

（2）甲、乙相遇則兩者走的時(shí)間相同，
設(shè)甲走x米，則乙走$\frac{30}{55}$x=$\frac{6}{11}$x米，
∵要相遇在正方形頂點(diǎn)，
∴x和$\frac{6}{11}$x都要為10的整數(shù)倍且x+$\frac{6}{11}$x-10=$\frac{17}{11}$x-10，為40的整數(shù)倍（除第一次走10米相遇，以后每次相遇都要再走40米），
∴（a-$\frac{10}{85}$）×85=40（b-1）+20，
由上式可知：當(dāng)a=6時(shí)，甲走了330米，甲走到點(diǎn)B，
乙走了180米，乙走到點(diǎn)D，
解得：b=13，
故答案為：2，（6，13）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元一次方程在行程問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的難點(diǎn)在于，如果用經(jīng)典的數(shù)學(xué)演繹推理，容易將此題化歸為“不定方程”這一學(xué)生沒(méi)有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)模型．所以，沒(méi)有用合情推理研究本題，是解答此題的一個(gè)解題策略層面的方向性錯(cuò)誤．學(xué)生是否有合理運(yùn)用“合情推理”的意識(shí)，是否知道在怎樣的情況下要用合情推理，在怎樣的情況下不宜用合情推理，這是學(xué)生能否正確選擇這道題的解題策略方向的關(guān)鍵所在．