Question

13．已知點A（8，0），B（0，-4），點P為一次函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x圖象上的一個動點，設(shè)點P橫坐標(biāo)為m，若△APB為鈍角三角形，則m的取值范圍是m＜-$\frac{12}{7}$或0＜m＜6或m＞$\frac{48}{7}$．

Answer 1

分析 找?guī)讉�關(guān)鍵點①P₁B⊥AB時，②P₂A⊥BA時③當(dāng)∠AP₃B=90°，只要求出P₁、P₂、P₃的坐標(biāo)即可寫出m的范圍．

解答 解：如圖所示，直線AB為y=$\frac{1}{2}$x-4，線段AB中點C坐標(biāo)（4，-2）
①P₁B⊥AB時，△P₁AB是直角三角形，
此時直線BP₁為y=-2x-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{y=-2x-4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{12}{7}}\\{y=-\frac{4}{7}}\end{array}\right.$，所以點P₁（-$\frac{12}{7}$，-$\frac{4}{7}$），
②P₂A⊥BA時，△P₂AB是直角三角形，此時直線P₂A為y=-2x+16，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x}\\{y=-2x+16}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{48}{7}}\\{y=\frac{16}{7}}\end{array}\right.$，所以點P₂（$\frac{48}{7}$，$\frac{16}{7}$），
③當(dāng)∠AP₃B=90°時，設(shè)P₃（m，$\frac{1}{3}$m），
由P₃C=$\frac{1}{2}$AB得（m-4）²+（$\frac{1}{3}$m+2）²=20，解得m=0或6，
∴P₃（0，0）或（6，2），
綜上所述△APB為鈍角三角形時m＜-$\frac{12}{7}$或0＜m＜6或m＞$\frac{48}{7}$．
故答案為m＜-$\frac{12}{7}$或0＜m＜6或m＞$\frac{48}{7}$．

點評 本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，找關(guān)鍵點是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．