Question

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在邊AC上，AD=BD=DE，聯(lián)結(jié)BE，∠ABC=∠DBE=72°；
（1）聯(lián)結(jié)CE，求證：CE=BE；
（2）分別延長CE、AB交于點(diǎn)F，求證：四邊形DBFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊對等角，計(jì)算出∠4，∠2，∠3的度數(shù)為36°，然后再證明CO=EO，進(jìn)而可得∠5=36°，再根據(jù)等角對等邊可得CE=BE；
（2）首先根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明DE∥BF，DB∥BC，進(jìn)而可得四邊形DBFE是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠A=180°-72°-72°=36°，
∵AD=BD，
∴∠1=∠A=36°，
∴∠2=36°，
∵∠DBE=72°，
∴∠3=36°，
∵BD=DE，
∴∠DEB=∠DBE=72°，
∴∠BOE=180°-∠3-∠DEB=72°，
∴∠4=∠BOE-∠2=36°，
∴∠2=∠4，
∴DO=BO，
∵∠2=36°，∠ACB=72°，
∴∠BDC=180°-∠2-∠DCB=72°，
∴BC=BD，
∵BD=DE，
∴BC=DE，
∴DE-DO=BC-BO，
∴CO=EO，
∵∠7=∠8，
∴∠5=∠$\frac{180°-∠8}{2}$=$\frac{180°-∠7}{2}$=∠4=36°，
∴∠5=∠3=36°，
∴CE=BE；

（2）∵∠4=∠1=36°，
∴DE∥BF，
∵∠2=∠5=36°，
∴EF∥DB，
∴四邊形DEFB是平行四邊形，
∵DE=DB，
∴四邊形DBFE是菱形．

點(diǎn)評 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握等邊對等角，推出∠5=∠3=36°．