Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

（k為正整數(shù)）上只有四個整點，如圖順次連接A、B、C、D四點，且S_{四邊形ABCD}=16，則k=

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)雙曲線y=

k

x

（k為正整數(shù)）上只有四個整點可知A與C，B與D關(guān)于原點對稱，A與B，C與D關(guān)于直線x=y對稱，故可得出四邊形ABCD是矩形，設(shè)A（a，

k

a

），則B（

k

a

，a），C（-a，-

k

a

），D（-

k

a

，-a），再根據(jù)兩點間的距離公式用k表示出AB及BC的長，利用矩形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：∵雙曲線y=

k

x

（k為正整數(shù)）上只有四個整點，
∴A與C，B與D關(guān)于原點對稱，A與B，C與D關(guān)于直線x=y對稱，
∴四邊形ABCD是矩形，
設(shè)A（a，

k

a

），則B（

k

a

，a），C（-a，-

k

a

），D（-

k

a

，-a），
∴AB=

(a- k a )2+( k a -a)2

=

2

（

k

a

-a），BC=

( k a +a)2+(a+ k a )2

=

2

（

k

a

+a），
∴S_{四邊形ABCD}=AB•CD=2（

k

a

-a）（

k

a

+a）=16，
∴（

k

a

-a）（

k

a

+a）=8，
∴

k a -a=1 k a +a=8

或

k a -a=2 k a +a=4

，
當(dāng)

k a -a=1① k a +a=8②

時，②-①得，a=

7

2

（舍去）；
當(dāng)

k a -a=2 k a +a=4

時，解得

a=1 k=3

．
故答案為：3．

點評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點等知識，難度適中．