Question

17．觀察下列等式：
第1個等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）；
第2個等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第3個等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；
第4個等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）．
請解答下列問題：
（1）按著以上的規(guī)律，可以寫出第5個等式為：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{9}$$-\frac{1}{11}$）；
（2）用含有n（n為正整數(shù)）代數(shù)式表示第n個等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；
（3）直接寫出當(dāng)a_n=$\frac{1}{255}$時，n的值為8；
（4）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀的值．

Answer 1

分析 觀察已知等式發(fā)現(xiàn)：等式左邊的分?jǐn)?shù)分子是1，分母的第一個因數(shù)是從1開始的奇數(shù)列，第二個因數(shù)恰比第一個數(shù)大2，等式右邊是左邊分母中因數(shù)的倒數(shù)的差的一半，由此可以解答．

解答 解：觀察已知，總結(jié)出基本規(guī)律：等式左邊的分?jǐn)?shù)分子是1，分母的第一個因數(shù)是從1開始的奇數(shù)列，第二個因數(shù)恰比第一個數(shù)大2，等式右邊是左邊分母中因數(shù)的倒數(shù)的差的一半．
（1）第5個等式為：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{9}$$-\frac{1}{11}$）
故答案為$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{9}$$-\frac{1}{11}$）
（2）第n個等式為：a_n=$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
故答案為：$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
（3）當(dāng)a_n=$\frac{1}{255}$時，（2n+1）×（2n-1）=255，解得n=8
故答案為：8
（4）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₅₀=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{50}{101}$．

點評 此題主要考察等式的規(guī)律探索和應(yīng)用，認(rèn)真觀察已知，找到存在的規(guī)律是解題關(guān)鍵，熟悉基本的數(shù)列是解決此類問題的基礎(chǔ)，運(yùn)用求和時，注意互為相反數(shù)的和等于0，是解決第四問的前提．