精英家教網(wǎng)利用塞瓦定理可以簡(jiǎn)便地證明重心定理、內(nèi)心定理和垂心定理：
分析：①由AD，BE，CF是△ABC的中線，根據(jù)中線的性質(zhì)得到
BD
DC
•
CE
CA
•
AF
FB
=1，得到AD，BE，CF三條中線交于一點(diǎn)．
②由AD，BE，CF是△ABC的內(nèi)角平分線，根據(jù)角平分線定理得到
BD
DC
=
AB
AC
，
CE
EA
=
BC
AB
，
AF
FB
=
AC
BC
．把它們分別相乘然后利用塞瓦定理，得到AD，BE，CF三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．
③由AD，BE，CF是△ABC的三條高線，則△ABD∽△CBF，得到
BD
FB
=
AB
BC
；△ACD∽△BCE，得到
CE
CD
=
BC
AC
；△ABE∽△ACF，得到
AF
AE
=
AC
AB
．把它們分別相乘然后利用塞瓦定理，得到AD，BE，CF三條高線或延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．
解答：證明：①如果AD，BE，CF是△ABC的中線，則BD=DC，CE=AE，AF=FB．
∴
BD
DC
•
CE
CA
•
AF
FB
=1，
∴AD，BE，CF三條中線交于一點(diǎn)；

②如果AD，BE，CF是△ABC的內(nèi)角平分線，
則
BD
DC
=
AB
AC
，
CE
EA
=
BC
AB
，
AF
FB
=
AC
BC
．
∴
BD
DC
•
CE
EA
•
AF
FB
=
AB
AC
•
BC
AB
•
AC
BC
=1，
因此AD，BE，CF三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)；

③如果AD，BE，CF是△ABC的三條高線，
∵△ABD∽△CBF，
∴
BD
FB
=
AB
BC
，
∵△ACD∽△BCE，
∴
CE
CD
=
BC
AC
，
∵△ABE∽△ACF，
∴
AF
AE
=
AC
AB
．
∴
BD
DC
•
CE
EA
•
AF
FB
=
BD
FB
•
CE
DC
•
AF
EA
=
AB
BC
．
BC
AC
•
AC
AB
=1，
因此AD，BE，CF三條高線或延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了塞瓦定理的運(yùn)用．也考查了三角形中線、角平分線和高的性質(zhì)以及三角形相似的性質(zhì)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

同步練習(xí)冊(cè)答案