Question

9．如圖，正方形ABCD的邊長為3，AE=2BE，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 連接BD，交AC于O，根據(jù)正方形性質(zhì)求出B、D關(guān)于AC對稱，連接DE，交AC于P，連接BP，得出此時PE+PB的值最小，得出PE+PB=PE+PD=DE，由已知求出AE=2，根據(jù)勾股定理求出DE即可．

解答 解：連接BD，交AC于O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OD=OB，BD⊥AC，
即B、D關(guān)于AC對稱，
連接DE，交AC于P，連接BP，則此時PE+PB的值最小，即根據(jù)對稱的性質(zhì)得出PE+PB=PE+PD=DE，
∵AE=2BE，AB=3，
∴AE=2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AD=3，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
即PE+PB的最小值是$\sqrt{13}$．
故答案為：$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P點的位置，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．