Question

（2013•西城區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部．
（1）如圖1，AB=2AC，PB=3，點(diǎn)M、N分別在AB、BC邊上，則cosα=

3

2

，△PMN周長(zhǎng)的最小值為

3

；
（2）如圖2，若條件AB=2AC不變，而PA=

2

，PB=

10

，PC=1，求△ABC的面積；
（3）若PA=m，PB=n，PC=k，且k=mcosα=nsinα，直接寫出∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系以及利用軸對(duì)稱求最短路線進(jìn)而得出，△PMN的周長(zhǎng)最小值等于P′P″的長(zhǎng)，分別求出即可；
（2）首先分別將△PAB、△PBC、△PAC沿直線AB、BC、AC翻折，點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E、F，連接DE、DF，
則△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC，進(jìn)而得出∠DFE=90°，由S_{多邊形BDAFE}=2S_△ABC=S_△DBE+S_△DFE+S_△DAF，求出即可；
（3）作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，分別表示出∠1，∠2，∠3進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵AB=2AC，PB=3，∠ACB=90°，∠ABC=α，
∴sinα=

1

2

，
∴α=30°，
∴cosα=

3

2

，
如圖1，作P點(diǎn)關(guān)于AB以及BC的對(duì)稱點(diǎn)P′，P″，
∴BP=BP″=BP′，△PMN的周長(zhǎng)最小值等于P′P″的長(zhǎng)，
∵∠ABC=30°，
∴∠P′BP″=60°，
∴△BP′P″是等邊三角形，
∴BP′=BP″=3，
∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為：3；       
故答案為：

3

2

，3；

（2）如圖2，分別將△PAB、△PBC、△PAC沿直線AB、BC、AC翻折，點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)D、E、F，連接DE、DF，
則△PAB≌△DAB，△PCB≌△ECB，△PAC≌△FAC．
∴AD=AP=AF，BD=BP=BE，CE=CP=CF．
∵由（1）知∠ABC=30°，∠BAC=60°，∠ACB=90°，
∴∠DBE=2∠ABC=60°，∠DAF=2∠BAC=120°，
∠FCE=2∠ACB=180°．
∴△DBE是等邊三角形，點(diǎn)F、C、E共線．
∴DE=BD=BP=

10

，EF=CE+CF=2CP=2．
∵△ADF中，AD=AF=

2

，∠DAF=120°，
∴∠ADF=∠AFD=30°．
∴DF=

3

AD=

6

．
∴EF²+DF²=10=DE²．
∴∠DFE=90°．
∵S_{多邊形BDAFE}=2S_△ABC=S_△DBE+S_△DFE+S_△DAF，
∴2S△ABC=

3

4

×(

10

)2+

1

2

×

6

×2+

1

2

×

6

×

2

2

=3

3

+

6

．
∴S△ABC=

3 3 + 6

2

．

（3）∠APB=150°．
理由：如圖2，作BM⊥DE于M，AN⊥DF于N，
由（2）知∠DBE=2α，∠DAF=180°-2α．
∵BD=BE=n，AD=AF=m，
∴∠DBM=α，∠DAN=90°-α．
∴∠1=90°-α，∠3=α．
∴DM=nsinα，DN=mcosα．
∴DE=DF=EF．
∴∠2=60°．
∴∠APB=∠BDA=∠1+∠2+∠3=150°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了幾何變換綜合以及銳角三角函數(shù)關(guān)系以及等邊三角形的判定等知識(shí)，利用軸對(duì)稱得出等邊三角形是解題關(guān)鍵．