【題目】如圖,△ABC內(nèi)接與⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點P,OF∥BC交AC于AC點E,交PC于點F,連接AF.
(1)判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說明理由;
(2)若⊙O的半徑為4,AF=3,求AC的長.
【答案】解:(1)AF與圓O的相切。理由為:
如圖,連接OC,
∵PC為圓O切線,∴CP⊥OC。
∴∠OCP=90°。
∵OF∥BC,
∴∠AOF=∠B,∠COF=∠OCB。
∵OC=OB,∴∠OCB=∠B。∴∠AOF=∠COF。
∵在△AOF和△COF中,OA=OC,∠AOF=∠COF,OF=OF,
∴△AOF≌△COF(SAS)。∴∠OAF=∠OCF=90°。
∴AF為圓O的切線,即AF與⊙O的位置關(guān)系是相切。
(2)∵△AOF≌△COF,∴∠AOF=∠COF。
∵OA=OC,∴E為AC中點,即AE=CE=AC,OE⊥AC。
∵OA⊥AF,∴在Rt△AOF中,OA=4,AF=3,根據(jù)勾股定理得:OF=5。
∵S△AOF=OAAF=OFAE,∴AE=。
∴AC=2AE=。
【解析】
試題(1)連接OC,先證出∠3=∠2,由SAS證明△OAF≌△OCF,得對應(yīng)角相等∠OAF=∠OCF,再根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCF=90°,證出∠OAF=90°,即可得出結(jié)論;
(2)先由勾股定理求出OF,再由三角形的面積求出AE,根據(jù)垂徑定理得出AC=2AE.
試題解析:(1)連接OC,如圖所示:
∵AB是⊙O直徑,
∴∠BCA=90°,
∵OF∥BC,
∴∠AEO=90°,∠1=∠2,∠B=∠3,
∴OF⊥AC,
∵OC=OA,
∴∠B=∠1,
∴∠3=∠2,
在△OAF和△OCF中,
,
∴△OAF≌△OCF(SAS),
∴∠OAF=∠OCF,
∵PC是⊙O的切線,
∴∠OCF=90°,
∴∠OAF=90°,
∴FA⊥OA,
∴AF是⊙O的切線;
(2)∵⊙O的半徑為4,AF=3,∠OAF=90°,
∴OF==5
∵FA⊥OA,OF⊥AC,
∴AC=2AE,△OAF的面積=AFOA=OFAE,
∴3×4=5×AE,
解得:AE=,
∴AC=2AE=.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,點B關(guān)于AC的對稱點B′ 恰好落在CD上,若∠BAD=110°,則∠ACB的度數(shù)為( )
A.40°B.35°C.60°D.70°
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,動點P從點A開始沿邊AB向B以1cm/s的速度移動(不與點B重合),動點Q從點B開始沿邊BC向C以2cm/s的速度移動(不與點C重合).如果P,Q分別從A,B同時出發(fā),當四邊形APQC的面積最小時,經(jīng)過的時間為( )
A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s
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【題目】如圖△ABC 中,AC=BC,∠ACB=120°,點 D 在線段 AB 上運動(D 不與 A、B 重合),連接 CD,作∠CDE=30°,DE 交 BC 于點 E,若△CDE 是等腰三角形,則∠ADC 的度數(shù)是___________.
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【題目】如圖所示,本市新建一座圓形人工湖,為測量該湖的半徑,小杰和小麗沿湖邊選取A,B,C三根木柱,使得A,B之間的距離與A,C之間的距離相等,并測得BC長為120米,A到BC的距離為4米,請你幫他們求出該湖的半徑.
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【題目】如圖,在半徑為5的⊙O中,AB,CD是互相垂直的兩條弦,垂足為P,且AB=CD=8,則OP的長為( )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,BC=6, .求BE的長.
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【題目】如圖1,已知A(3,0)、B(4,4)、原點O(0,0)在拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)上.
(1)求拋物線的解析式.
(2)將直線OB向下平移m個單位長度后,得到的直線與拋物線只有一個交點D,求m的值及點D的坐標.
(3)如圖2,若點N在拋物線上,且∠NBO=∠ABO,則在(2)的條件下,求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標(點P、O、D分別與點N、O、B對應(yīng))
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