Question

11．如圖，已知△ABC，外心為O，BC=6，∠BAC=60°，分別以AB、AC為腰向形外作等腰直角三角形△ABD與△ACE，連接BE、CD交于點P，則OP的最小值是3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由△ABD與△ACE是等腰直角三角形，得到∠BAD=∠CAE=90°，∠DAC=∠BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠ABE，求得在以BC為直徑的圓上，由△ABC的外心為O，∠BAC=60°，得到∠BOC=120°，如圖，當PO⊥BC時，OP的值最小，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△ABD與△ACE是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC與△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠PDB+∠PBD=90°，
∴∠DPB=90°，
∴P在以BC為直徑的圓上，
∵△ABC的外心為O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
如圖，當PO⊥BC時，OP的值最小，
∵BC=6，
∴BH=CH=3，
∴OH=$\sqrt{3}$，PH=3，
∴OP=3-$\sqrt{3}$．
故答案為：3-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．