【題目】△ABC中,AB=AC,DBC的中點,以AC為腰向外作等腰直角△ACE,∠EAC=90°,連接BE,交AD于點F,交AC于點G

1)若∠BAC=40°,求∠AEB的度數(shù);

2)求證:∠AEB=∠ACF;

3)求證:EF2+BF2=2AC2

【答案】1AEB=25°;(2)證明見解析;3)證明見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠AEB,求出∠BAE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可;

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAF=∠CAF,由SAS得出△BAF≌△CAF,從而得出∠ABF=∠ACF,即可得出答案;

(3)根據(jù)全等得出BF=CF,由已知得到∠CFG=∠EAG=90°,由勾股定理得出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2, EC2=AC2+AE2=2AC2,即可得到答案.

試題解析:(1)∵AB=AC,△ACE是等腰直角三角形,∴AB=AE,∴∠ABE=∠AEB,

又∵∠BAC=40°,∠EAC=90°,∴∠BAE=40°+90°=130°,∴∠AEB=(180°﹣130°)÷2=25°;

(2)∵AB=AC,D是BC的中點,∴∠BAF=∠CAF.

在△BAF和△CAF中,∴△BAF≌△CAF(SAS),∴∠ABF=∠ACF,

∵∠ABE=∠AEB,∴∠AEB=∠ACF;

(3)∵△BAF≌△CAF,∴BF=CF,∵∠AEB=∠ACF,∠AGE=∠FGC,∴∠CFG=∠EAG=90°,

∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2,∵△ACE是等腰直角三角形,∴∠CAE=90°,AC=AE,

∴EC2=AC2+AE2=2AC2,即EF2+BF2=2AC2

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2)如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CDBC的延長線上移動時,連接AEDF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請你直接回答,不需證明);連接AC,求ACE為等腰三角形時CECD的值;

3)如圖3,當(dāng)E,F分別在直線DC,CB上移動時,連接AEDF交于點P,由于點E,F的移動,使得點P也隨之運動,請你畫出點P運動路徑的草圖.AD=2,試求出線段CP的最大值.

1 2 3

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