Question

17．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點P（不與A、B重合），連結DP，作PQ⊥DP，使得PQ交線段BC于點E，設AP=x．
（1）當x為何值時，△APD是等腰三角形？
（2）若設BE=y，求y關于x的函數(shù)關系式；
（3）若BC的長a可以變化，在現(xiàn)在的條件下，是否存在點P，使得PQ經(jīng)過點C？若不存在，請說明理由；若存在，寫出當BC的長在什么范圍內時，可以存在這樣的點P，使得PQ經(jīng)過點C，并求出相應的AP的長．

Answer 1

分析 （1）表示出PH，然后分①當AP=AD時，②當AD=PD時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，AH=PH，列式進行計算即可得解；③當AP=PD時，表示出PH，然后在Rt△DPH中，根據(jù)勾股定理列式進行計算即可得解；
（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠HDP=∠EPB，再根據(jù)兩角對應相等，兩三角形相似求出△DPH和△PEB相似，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列出比例式整理即可得解；
（3）根據(jù)PQ過點C時，BE=4，代入（2）的BE的表達式，再根據(jù)一元二次方程的解確定即可．

解答 解：（1）過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6，
∴AH=2，AD=2$\sqrt{5}$，
∵AP=x，
∴PH=x-2，
情況①：當AP=AD時，即x=2$\sqrt{5}$，
情況②：當AD=PD時，則AH=PH，
∴2=x-2，
解得x=4，
情況③：當AP=PD時，則Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，
解得x=5，
∵2＜x＜8，
∴當x為2$\sqrt{5}$、4、5時，△APD是等腰三角形；
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°，
∴∠HDP=∠EPB，
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB，
∴$\frac{DH}{PH}=\frac{PB}{EB}$，
∴$\frac{4}{x-2}=\frac{8-x}{y}$，
整理得：$y=\frac{1}{4}（x-2）（8-x）=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{5}{2}x-4$；
（3）存在，
由（2）得△DPH∽△PEB，
∴$\frac{a}{8-x}=\frac{x-2}{y}$，
∴y=$\frac{{（{8-x}）（{x-2}）}}{a}$，
當y=a時，（8-x）（x-2）=a²，即x²-10x+（16+a²）=0，△=100-4（16+a²）≥0，
即100-64-4a²≥0，
即a²≤9，
又∵a＞0，
∴0＜a≤3，
∴當BC滿足0＜BC≤3時，存在點P，使得PQ經(jīng)過C，
此時，AP的長為$x=\frac{{10±\sqrt{100-4（16+{a^2}）}}}{2}=5±\sqrt{9-{a^2}}$．

點評 本題考查了四邊形綜合題，主要考查了直角梯形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，一元二次方程的解的情況，綜合性較強，難度較大，（1）要根據(jù)等腰三角形的腰長的不同分情況討論．