Question

17．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點（不與A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于點E．
（1）△ABP與△DPE是否相似？請說明理由；
（2）設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）請你探索在點P運動的過程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）△ABP與△DPE相似，理由為：利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
（2）由相似得比例，將各自的長代入列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的范圍即可；
（3）若四邊形ABED為矩形，則有AB=DE，求出此時AP的長即可．

解答 解：（1）△ABP與△DPE相似，理由為：
∵∠APB+∠ABP=90°，∠APB+∠DPE=90°，
∴∠ABP=∠DPE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABP∽△DPE；
（2）∵△ABP∽△DPE，
∴$\frac{AB}{DP}$=$\frac{AP}{DE}$，即$\frac{2}{5-x}$=$\frac{x}{y}$，
整理得：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x（0＜x＜5）；
（3）存在，若四邊形ABED為矩形，則有AB=DE，
即2=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x，
解得：x=1或x=4．
則AP=1或AP=4．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及一元二次方程的解法，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．