Question

如圖所示，在△ABC中，∠ABC=22.5°，AB的中垂線交BC于點D，DF⊥AC于F，作AE⊥BC于E，交DF于G．
（1）求證：AE=DE；　
（2）連接CG，求∠ECG的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：連AD，如圖，
∵AB的中垂線交BC于點D，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B，
∴∠ADE=2∠B=2×22.5°=45°，
而AE⊥BC，
∴△ADE為直角三角形，
∴AE=DE；
（2）解：∵DF⊥AC，AE⊥DC，
∴∠CDF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠CAE=∠EDG，
在△DEG和△AEC中
，
∴△DEG≌△AEC，
∴EG=EC，
∵∠CEG=90°，
∴∠ECG=45°．
分析：（1）連AD，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，由等腰三角形的性質(zhì)∠DAB=∠B，利用三角形外角性質(zhì)有∠ADE=2∠B=2×22.5°=45°，而AE⊥BC，易得△ADE為直角三角形，即可得到結(jié)論；
（2）由于DF⊥AC，AE⊥DC，利用等角的余角相等得到∠CAE=∠EDG，根據(jù)全等三角形的判定方法易證得△DEG≌△AEC，則有EG=EC，而∠CEG=90°，于是有∠ECG=45°．
點評：本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離線段．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．