Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D、E分別在線段BC、AC上運動，并保持∠ADE=45°
（1）當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長；
（2）當(dāng)時，求DE的長．

Answer 1

解：（1）①當(dāng)AE=AD時，△ADE是等腰三角形，
此時，點E、D分別與點C、B重合，
∴AE=AC=2；
②當(dāng)AE=DE時，△ADE是等腰三角形，
此時，∠EAD=∠ADE=45°，由題設(shè)知，此時點D、E分別為BC、AC的中點，
∴AE=AC=1；
③當(dāng)AD=DE時，△ADE是等腰三角形，
此時由題設(shè)知∠B=∠C=45°，
∵AB=AC=2，BC=，
而∠BAD+∠B=∠ADC=45°+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，AD=DE，
∴△ABD≌△DCE，
∴DC=AB=2，CE=BD=BC-DC=，
∴AE=AC-CE=．

（2）取BC的中點M，連接AM，
易求得AM=，BM=，∠AMB=90°，
∵BD=，
∴DM=BM-BD=-=，
DC=BC-BD=2-=，
∴在Rt△AMD中，AD==，
由（1）的第三種情況已證∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴DE=×AD=××=．
分析：（1）分三種情況，討論解答：①當(dāng)AE=AD時，②當(dāng)AE=DE時，③當(dāng)AD=DE時；①②易求得，③通過證明△ABD≌△DCE，得AB=DC，BD=CE，即可求出；
（2）如圖，通過證明△ABD∽△DCE，可得到，即DE=×AD，在Rt△AMD中，可通過勾股定理，求得DC的長，即可解答出；
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，本題根據(jù)題意，確定動點D、E的位置，是解答的關(guān)鍵．