Question

如圖，已知∠MON兩邊分別為OM、ON，sin∠O=

3

5

且OA=5，點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)（不與O重合），以A為圓心、AD為半徑作⊙A，設(shè)OD=x．

（1）若⊙A交∠O 的邊OM于B、C兩點(diǎn)，BC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）將⊙A沿直線OM翻折后得到⊙A′．
①若⊙A′與直線OA相切，求x的值；
②若⊙A′與以D為圓心、DO為半徑的⊙D相切，求x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）作AH⊥OM于H，如圖1，在Rt△OAH中，根據(jù)正弦的定義求出AH=3，根據(jù)垂徑定理由AH⊥BC得CH=BH=

1

2

BC=

1

2

y，由于OD=x，則AD=5-x，然后在Rt△ACH中利用勾股定理得到（

1

2

y）²=（5-x）²-3²，再整理即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系；
（2）作A′E⊥OA于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得A′H=AH=3，⊙A′的半徑為5-x，在Rt△OAH中，利用勾股定理計(jì)算出OH=4；由于⊙A′與直線OA相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得A′E=5-x，再證明Rt△OAH∽R(shí)t△A′AE，利用相似比得到5：6=4：（5-x），然后解方程可得到x的值；
（3）作A′G⊥OA于G，連結(jié)A′D，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)得A′D=x+5-x=5，再證明Rt△OAH∽R(shí)t△A′AG，利用相似比可計(jì)算出AG=

18

5

，A′G=

24

5

，則DG=AG-AD=x-

7

5

，然后在Rt△A′GD中，根據(jù)勾股定理得到（

24

5

）²+（x-

7

5

）²=5²，整理得x²-

14

5

x=0，然后解方程即可．

解答：解：（1）作AH⊥OM于H，如圖1，
在Rt△OAH中，OA=5，sin∠AOH=

AH

OA

=

3

5

，
∴AH=3，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH=

1

2

BC=

1

2

y，
∵OD=x，
∴AD=5-x，
在Rt△ACH中，AC=5-x，AH=3，CH=

1

2

y，
∴（

1

2

y）²=（5-x）²-3²，
∴y=2

x2-10x+16

（0＜x＜2）；
（2）作A′E⊥OA于E，如圖，
∵⊙A沿直線OM翻折后得到⊙A′，
∴A′H=AH=3，⊙A′的半徑為5-x，
在Rt△OAH中，OH=

OA2-AH2

=4，
∵⊙A′與直線OA相切，
∴A′E=5-x，
∵∠HAO=∠EAA′，
∴Rt△OAH∽R(shí)t△A′AE，
∴OA：AA′=OH：A′E，即5：6=4：（5-x），
∴x=

1

5

；
（3）作A′G⊥OA于G，連結(jié)A′D，如圖3，
∵⊙A′與以D為圓心、DO為半徑的⊙D相切，
∴A′D=x+5-x=5，
∵∠HAO=∠GAA′，
∴Rt△OAH∽R(shí)t△A′AG，
∴

AH

AG

=

OH

A′G

=

OA

AA′

，即

3

AG

=

4

A′G

=

5

6

，
∴AG=

18

5

，A′G=

24

5

，
∴DG=AG-AD=

18

5

-（5-x）=x-

7

5

，
在Rt△A′GD中，∵A′G²+GD²=A′D²，
∴（

24

5

）²+（x-

7

5

）²=5²，
整理得x²-

14

5

x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=

14

5

，
∴x的值為

14

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、切線的性質(zhì)和兩圓相切的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用銳角三角函數(shù)、相似比和勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．