Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC上取一點D，在AB上取一點E，使∠BDC=∠EDA，過點E作EF⊥BD于點N．交BC于點F，若CF=8，AD=11，則CD的長為3．

Answer 1

分析 過B作BH⊥BC交DE的延長線于H，則BH∥AC，推出△ADE∽△BHE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AD}{BH}$，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠H=∠1，∠2=∠DBH，等量代換得到∠H=∠DBH，于是得到DH=BD，過D作DM⊥BH與M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BM=$\frac{1}{2}$BH=CD，設(shè)CD=x，則BH=2x，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠2=∠3，推出△ADE∽△BFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：過B作BH⊥BC交DE的延長線于H，則BH∥AC，
∴△ADE∽△BHE，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AD}{BH}$，
∵BH∥AC，
∴∠H=∠1，∠2=∠DBH，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠DBH，
∴DH=BD，
過D作DM⊥BH與M，
∴BM=$\frac{1}{2}$BH=CD，設(shè)CD=x，則BH=2x，
∵EF⊥BD，
∴∠BNF=90°，
∴∠2+∠CBD=∠3+∠NBF，
∴∠2=∠3，
∵∠A=∠FBE=45°，
∴∠1=∠3，
∴△ADE∽△BFE，
∴$\frac{AD}{BF}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AD}{BH}$，
∴BF=BH，即11+x-8=2x，
∴x=3．
∴CD=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．