Question

5．如圖，在五邊形ABCDE中，已知∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=2，AE=DE=4，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，若要使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則△AMN的最小周長(zhǎng)為4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，即可得出最短路線，再利用勾股定理，求出即可．

解答 解：作A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交ED于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值．
作EA延長(zhǎng)線的垂線，垂足為H，
∵AB=BC=2，AE=DE=4，
∴AA′=2BA=4，AA″=2AE=8，
則Rt△A′HA中，∵∠EAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AA′=2，
∴A′H=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$，
A″H=2+8=10，
∴A′A″=$\sqrt{A'{H}^{2}+A''{H}^{2}}=4\sqrt{7}$．
故答案為：$4\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．