Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸、y軸上，D是對(duì)角線的交點(diǎn)，若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，且與矩形OABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)E，F．

（1）若D的坐標(biāo)為（4，2）

①則OA的長是　 　，AB的長是　 　；

②請(qǐng)判斷EF是否與AC平行，井說明理由；

③在x軸上是否存在一點(diǎn)P．使PD+PE的值最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)PD+PE的長；若不存在．請(qǐng)說明理由．

（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①8；4；②EF∥AC，理由見解析；③當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）時(shí)，PD+PE的值最小，最小值為5．

（2）＝．

【解析】

（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和點(diǎn)O、D的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出OA和AB的長；

②將點(diǎn)D坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可求出反比例函數(shù)的解析式，從而求出E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且對(duì)應(yīng)夾角相等的兩個(gè)三角形相似，證出：△ABC∽△EBF，從而得出∠BCA＝∠BFE，根據(jù)平行線的判定即可證出EF∥AC；

③作點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)E′，連接DE′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE的值最小，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出此時(shí)的DE′，然后利用待定系數(shù)法求出直線DE′的解析式，從而求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），與（1）①同理可得：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2m，2n），然后與（1）②中同理可證：△ABC∽△EBF，從而求出.

解：（1）①∵四邊形OABC是矩形，

∴D為OB的中點(diǎn)

∵點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），

∴OA＝8，AB＝4．

故答案為：8；4．

②EF∥AC，理由如下：

∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)D（4，2），

∴k＝4×2＝8．

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），BC∥x軸，AB∥y軸，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，1），

∴BF＝6，BE＝3，

∴＝，＝，

∴＝．

∵∠ABC＝∠EBF，

∴△ABC∽△EBF，

∴∠BCA＝∠BFE，

∴EF∥AC．

③作點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)E′，連接DE′交x軸于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PD+PE的值最小，并且PD+PE=PD+P E′= DE′，如圖所示．

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，1），

∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（8，﹣1），

∴根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式得：DE′＝＝5．

設(shè)直線DE′的解析式為y＝ax+b（a≠0），

將D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，

解得：，

∴直線DE′的解析式為y＝﹣x+5．

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+5＝0，

解得：x＝，

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）時(shí)，PD+PE的值最小，最小值為5．

（2）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2m，2n）．

∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)D（m，n），

∴k＝mn，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，2n），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2m，n），

∴BF＝m，BE＝n，

∴＝，＝，

∴＝．

又∵∠ABC＝∠EBF，

∴△ABC∽△EBF，

∴＝＝．