Question

10．正方形ABCD中，M為AB的中點，E為AB延長線上一點，MN⊥DM且交∠CBE的平分線于點N．
（1）試判斷線段MD與MN的關系并說明理由．
（2）若點M在AB的延長線上，其余條件不變，上述結論還成立嗎？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點H，連接HM，則BM=HD，由已知可推出∠DHM=∠MBN，∠BMN=∠HDM，從而利用ASA判定△DHM≌△MBN，從而得到DM=MN；
（2）如圖2，若點M在AB的延長線上，則在AD延長線上取點H，使DH=BM，連接HM，根據余角的性質得到∠NME=∠ADM，于是得到∠MDH=∠NMB（等角的鄰補角相等），由角平分線的定義得到∠NBM=45°，推出△AMH為等腰直角三角形，得到∠MHD=45°，證得△DHM≌△MBN（ASA），根據全等三角形的性質即可得到結論．

解答 證明：（1）如圖1，取AD的中點H，連接HM，
∵四邊形ABCD是正方形，M為AB的中點，
∴BM=HD=AM=AH，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分線．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
在△DHM與△MBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDM=∠BMN}\\{DH=MB}\\{∠DHM=∠MBN}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN；

（2）如圖2，若點M在AB的延長線上，
則在AD延長線上取點H，使DH=BM，連接HM，
∵DM⊥MN，即∠DMN=90°，
∴∠DMA+∠NME=90°，
又∵∠DMA+∠ADM=90°，
∴∠NME=∠ADM，
∴∠MDH=∠NMB（等角的鄰補角相等），
又∵BN為∠CBE的平分線，且∠CBE=90°，
∴∠NBM=45°，
∵AD=AB，DH=BM，
∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴∠MHD=45°，
∴∠MHD=∠NBM，
在△DHM與△MBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MHD=∠NBM}\\{DH=BM}\\{∠MDH=∠NMB}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，正方形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．