Question

【題目】如圖1，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為，過點(diǎn)作交于點(diǎn).

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當(dāng)折痕的點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖2），求菱形的邊長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）邊長(zhǎng)為.

【解析】

（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等可證得：四邊形BFEP為平行四邊形，再加上PB=PE可得結(jié)論；

（2）先由折疊得：EC=BC=AD=5，利用勾股定理得：ED=4，設(shè)PE=x，則PB=x，AP=3-x，Rt△APE中，由勾股定理得：，解出即可；

（1）證明：有題意可知：

∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,

，

∵

∴

∴∠BPF=

∴

∴

∴四邊形BFED是平行四邊形，

∵

∴四邊形為菱形；

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，

由折疊可知：EC=BC=AD=5，

∵在直角△CDE中，CD=AB=3，

∴，

∴AE=1，

設(shè)PE=x，則PB=x，AP=3-x，

Rt△APE中，由勾股定理得：，

解得：，

即菱形的邊長(zhǎng)PB=.