Question

如圖，在半徑為4的圓O中，AB，CD是兩條直徑，M是OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于點(diǎn)E，設(shè)DE＝(a＞0)，EM＝x．

(1)用含x和a的代數(shù)式表示MC的長(zhǎng)，并試證·x＋12＝0；

(2)當(dāng)a＝15且EM＞MC時(shí)，求sin∠EOM；

(3)根據(jù)圖形寫(xiě)出EM長(zhǎng)的取值范圍；

(4)試問(wèn)，在上是否存在一點(diǎn)E，使EM的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程－·x＋12＝0的相等的實(shí)根，如果存在，求出sin∠EOM的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因?yàn)镃D為圓O直徑，所以∠DEC＝， 　　因?yàn)?img align="absmiddle"　　 SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30B0/0064/0132/33a5c75dc9d186cf60655dc7ee9b2666/C/Image24704.gif">＝，MC＝EC－EM＝－x． 　　又因?yàn)橛上嘟幌叶ɡ鞥M·MC＝AM·MB＝12，所以MC＝，，整理，得＋12＝0． 　　(2)當(dāng)a＝15時(shí)，方程為－7x＋12＝0，解得＝4． 　　因?yàn)镋M＞MC，所以EM＝4，MC＝3，由半徑OE＝4， 得△EOM為等腰三角形． 　　作EF⊥OM于F，則OF＝FM＝1，由勾股定理EF＝＝，Rt△EOF中，sin∠EOM＝． 　　(3)根據(jù)圖形不難看出MB＜EM＜MA，所以2＜EM＜6． 　　(4)假設(shè)上存在一點(diǎn)E，使EM的長(zhǎng)是方程·x＋12＝0的相等實(shí)根，由Δ＝－4×12＝0，得到64－a＝48． 　　所以方程． 　　因?yàn)?＜EM＝2＜6，所以在上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E，使EM＝2． 　　因?yàn)?img align="absmiddle"　　 SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/30B0/0064/0132/33a5c75dc9d186cf60655dc7ee9b2666/C/Image24720.gif">＝4，所以＝． 　　所以△EOM為Rt△，∠OME＝．