Question

5．如圖，等腰直角△ABC，AC=BC=$\sqrt{5}$，等腰直角△CDP中，CD=CP，且PB=$\sqrt{2}$，將△CDP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．
（1）求證：AD=PB；
（2）當(dāng)∠PBC=45°時(shí)，BD有最小值；當(dāng)∠PBC=135°時(shí)，BD有最大值，畫圖并說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明AD=PB，只要證明△ACD≌△BCP即可．
（2）由（1）點(diǎn)P在以點(diǎn)B為圓心PB為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在以A為圓心AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵CA=CB，CD=CP，∠ACB=∠PCD=90°，
∴∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB．
（2）∵AC=BC=$\sqrt{5}$，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
由（1）點(diǎn)P在以點(diǎn)B為圓心PB為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在以A為圓心AD為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，得到BD最小值=AB-AD=$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$，此時(shí)∠PBC=45°，見圖2，

當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，得到BD的最大值=AB+AD=$\sqrt{10}$+$\sqrt{2}$，此時(shí)∠PCB=135°，見圖3，

故答案為45°或135°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，考查學(xué)生的空間想象能力，動(dòng)手畫圖能力，屬于中考�？碱}型．