Question

（2009•唐山二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸，y軸上，線段OA=6，OB=12，C是線段AB的中點，點D在線段OC上，OD=2CD．
（1）C點坐標為______；
（2）求直線AD的解析式；
（3）直線OC繞點O逆時針旋轉90°，求出點D的對應點D′的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點A，B分別在x軸，y軸上，線段OA=6，OB=12，所以A（6，0）、B（0，12），又因C是線段AB的中點，利用線段中點的公式即可求出C的坐標為（3，6）；
（2）要求直線AD的解析式，已知A的坐標，需求D的坐標，因為點D在線段OC上，OD=2CD，所以可作CE⊥x軸于點E，DF⊥x軸于點F，則OE=OA=3，CE=OB=6，因為DF∥CE，可得，從而可求出OF=2，DF=4，
即點D的坐標為（2，4），然后可設直線AD的解析式為y=kx+b．把A（6，0），D（2，4）代入得到關于k、b的方程組，解之即可；
（3）因為直線OC繞點O逆時針旋轉90°，所以D也作了相同的旋轉，要求點D的對應點D′的坐標，需作D′M⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，由旋轉可知：∠DOD′=90°，OD=OD’，利用同角的余角相等可得∠D′OM=∠DON，所以可證Rt△MOD′≌Rt△DOF，所以D′M=OF=2，OD′=DF=4，又因點D′在第二象限，所以D′點坐標為（-4，2）．
解答：解：（1）（3，6）；

（2）作CE⊥x軸于點E，DF⊥x軸于點F，則OE=OA=3，CE=OB=6，
∵DF∥CE，，
得OF=2，DF=4，
∴點D的坐標為（2，4），
設直線AD的解析式為y=kx+b．
把A（6，0），D（2，4）代入得，
解得，
∴直線AD的解析式為y=-x+6．

（3）作D′M⊥x軸于點M，
由旋轉可知：∠DOD’=90°，OD=OD’，
∴∠MOD′+∠DOF=90°，
∵∠ODF=90°，
∴∠ODF+∠DOF=90°，
∴∠ODF=∠MOD’，
∴△MOD′≌△DOF，（7分）
∴D′M=OF=2，OD′=DF=4，
又∵點D′在第二象限，
∴D′點坐標為（-4，2）．
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用待定系數法、旋轉、全等三角形的知識來解決問題．