Question

如圖，等邊△OAE，邊長為2，E在y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形ABCD，B、C在x軸上．
（1）求經(jīng)過A、D兩點(diǎn)拋物線的對稱軸；
（2）是否存在點(diǎn)P，滿足點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，且以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似（不包括全等）？若存在點(diǎn)P，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BD所在直線與AE所在直線垂直時(shí)，求直線BD的解析式．

Answer 1

解：（1）∵A（，1），D（+1，1），
故對稱軸為直線x=；

（2）P₁（，1+），P₂（+1，1+），P₃（+，1+），
P₄（+，1+）；

（3）當(dāng)BD與邊AE垂直時(shí)，
EH=AE-AH=2-，
∴EF=2EH=4-，OF=2-，
ON=，
則F（0，-2），N（，0）
直線BD：y=x+-2
當(dāng)BD與EA的延長線垂直時(shí)，
EK=2+，則EG=2EK=4+，
OG=2+，
故直線BD：y=x--2．
分析：（1）本題的關(guān)鍵是求出A、D的坐標(biāo)，由于三角形OAE是等邊三角形，因此直角三角形OAB中，∠AOB=30°，即AB=OA=1，OB=，據(jù)此可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出經(jīng)過兩點(diǎn)的對稱軸的解析式
（2）本題有四個(gè)符合條件的點(diǎn)P，如圖：
①延長OA交CD的延長線于點(diǎn)P，那么此時(shí)△PAD∽△AOB，在直角三角形OCP中，可根據(jù)OC的長，求出CP的長，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，那么P點(diǎn)關(guān)于（1）題的對稱軸的對稱點(diǎn)也符合題意，由此可求出另一個(gè)P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②過D作OP的垂線，設(shè)垂足為P′，那么△P′AD∽△BOA，在直角三角形APD中，過P′作AD的垂線不難求出P′點(diǎn)坐標(biāo)，那么同①，P′關(guān)于（1）題的對稱軸的對稱點(diǎn)也符合題意，因此本題共有4個(gè)符合條件的P點(diǎn)．
（3）當(dāng)BD與EA垂直時(shí)，有兩種情況，如圖：
①當(dāng)BD與線段EA垂直時(shí)，那么直角三角形EHF中，∠FEH=60°，因此EF=2EH，EH的值可通過AE-AH求得，AE就是等邊三角形的邊長，而AH為正方形對角線的一半，據(jù)此的求出EF的長，也就求出了OF的長，同理在直角三角形OFN中，可根據(jù)OF的長和∠OFN的度數(shù)求出ON的長，即可得出F、N的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出此時(shí)直線BD的解析式．
②當(dāng)BD予線段EA延長線相交時(shí)，解法同①．
點(diǎn)評：本題考查了正方形和等邊三角形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等，要注意的是（2）題中，要注意以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似但不包括全等的條件．