Question

3．已知：如圖數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所別應(yīng)的分別為-3、1，點(diǎn)P在數(shù)軸上從點(diǎn)A出發(fā)以每秒鐘2個單位的長度的速度向右運(yùn)動，點(diǎn)Q在數(shù)軸上從點(diǎn)B出發(fā)以每秒鐘1個單位長度的速度向左運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．
（1）直接寫出線段AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)及t秒后點(diǎn)P所對應(yīng)的數(shù)．
（2）若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇時的位置所對應(yīng)的數(shù)；
（3）若點(diǎn)P比點(diǎn)Q遲1秒鐘出發(fā)，問點(diǎn)P出發(fā)幾秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q剛好相距1個單位長度．并問此時數(shù)軸上是否存在一個點(diǎn)C，使其到點(diǎn)A、點(diǎn)P和點(diǎn)Q這三點(diǎn)的距離和最小？若存在，直接寫出點(diǎn)C所對應(yīng)的數(shù)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為-3，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)，進(jìn)一步利用點(diǎn)的平移規(guī)律求得點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)；
（2）可設(shè)經(jīng)過x秒鐘點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇，由路程和是AB的長，列出方程求解，進(jìn)一步得出相遇點(diǎn)的位置即可；
（3）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)y秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q剛好相距1個單位長度，列出方程解答，分別求得P、Q點(diǎn)表示的數(shù)，設(shè)出點(diǎn)C表示的數(shù)，進(jìn)一步利用兩點(diǎn)之間的距離求得最小值即可．

解答 解：（1）線段AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)是$\frac{-3+1}{2}$=-1，點(diǎn)P所對應(yīng)的數(shù)是-3+2t；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒鐘點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇，由題意得
2x+x=1-（-3）
解得：x=$\frac{4}{3}$，
點(diǎn)P和點(diǎn)Q相遇時的位置所對應(yīng)的數(shù)為-3+2×$\frac{4}{3}$=-$\frac{1}{3}$；
（3）①設(shè)點(diǎn)P出發(fā)y秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q剛好相距1個單位長度，由題意得
y12y+y=4-1，
解得：y=$\frac{2}{3}$，
點(diǎn)P表示為-3+$\frac{2}{3}$×2=-$\frac{5}{3}$，點(diǎn)Q表示為1-（1+$\frac{2}{3}$）×1=-$\frac{2}{3}$，
設(shè)此時數(shù)軸上存在-個點(diǎn)C，點(diǎn)C表示的數(shù)為a，由題意得
AC+PC+QC=|a+3|+|a+$\frac{5}{3}$|+|a+$\frac{2}{3}$|，
要使|a+3|+|a+$\frac{5}{3}$|+|a+$\frac{2}{3}$|最小，當(dāng)點(diǎn)C與P重合時，即a=-$\frac{5}{3}$時，點(diǎn)C，使其到點(diǎn)A、點(diǎn)P和點(diǎn)Q這三點(diǎn)的距離和最小．
②若點(diǎn)P和點(diǎn)Q在相遇后相距1個單位長度，則2t=1×（t+1）=4+1
解得t=$\frac{4}{3}$
故P出發(fā)$\frac{4}{3}$秒后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q也可相距1個單位長度
此時滿足條件的點(diǎn)C即點(diǎn)Q，所表示的數(shù)位-$\frac{4}{3}$
綜上所述，當(dāng)P出發(fā)$\frac{2}{3}$秒或$\frac{4}{3}$秒時，P和Q相距1個單位長度，此時點(diǎn)C所表示的數(shù)分別為-$\frac{5}{3}$和-$\frac{4}{3}$

點(diǎn)評 此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，利用數(shù)軸求得兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)行程問題得出基本數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．