Question

（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限。

（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；

（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說(shuō)明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

.解：（1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，四邊形OAPB為正方形

OA=OB=a·cos45°=a

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a）

（2）作DE⊥x軸于E,PF ⊥x軸于F,

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m,0）,B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,n）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°

∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

則D點(diǎn)坐標(biāo)為（m+n,m）

∵點(diǎn)P為BD的中點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,n）

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（,）∴PF=OF=

∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即無(wú)論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；

（3）當(dāng)A,B分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)PF與PA的夾角為α，

則0°≤α＜45°

h=PF=PA·cosα=a·cosα

∵0°≤α＜45°∴＜cosα≤1    

∴a＜h≤a

 

解析:略