Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s．

（1）幾秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm？
（2）幾秒后△PCQ與△ABC相似？
（3）設(shè)△CPQ的面積為S1 ， △ABC的面積為S2 ， 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)x秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm，

則CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，

由題意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，

解得，x1=10，x2=0（舍去），

則10秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm；

（2）解：設(shè)y秒后△PCQ與△ABC相似，

當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)， = ，即 = ，

解得，y= ，

當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)， = ，即 = ，

解得，y= ，

故 秒或 秒后△PCQ與△ABC相似；

（3）解：△CPQ的面積為S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面積為S2= ×AC×BC=375，

由題意得，5（﹣t2+25t）=375×2，

解得，t1=10，t2=15，

故運(yùn)動(dòng)10秒或15秒時(shí)，S1：S2=2：5．

【解析】（1）設(shè)時(shí)間為x秒，由路程=速度×?xí)r間，易得CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，再利用勾股定理列方程求得10秒后P、Q兩點(diǎn)相距25cm。
（2）本題由于沒(méi)有直接說(shuō)明對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，所以一定要考慮兩種情況，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，可得若當(dāng)△PCQ∽△ACB時(shí)或者當(dāng)△PCQ∽△BCA時(shí)對(duì)應(yīng)邊的比相等，可計(jì)算出故 秒或 秒后△PCQ與△ABC相似兩種情況；
（3）由（1）中CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，根據(jù)三角形面積公式可得△CPQ的面積為S1= ×CQ×CP= ×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，

△ABC的面積為S2= ×AC×BC=375，又S1：S2=2：5解得運(yùn)動(dòng)10秒或15秒時(shí)，S1：S2=2：5。

【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．