Question

【題目】閱讀材料并解答下列問題：如圖1，把平面內(nèi)一條數(shù)軸繞原點逆時針旋轉角得到另一條數(shù)軸軸和軸構成一個平面斜坐標系

規(guī)定：過點作軸的平行線，交軸于點，過點作軸的平行線，交軸于點，若點在軸對應的實數(shù)為，點在軸對應的實數(shù)為，則稱有序實數(shù)對為點在平面斜坐標系中的斜坐標．如圖2，在平面斜坐標系中，已知，點的斜坐標是，點的斜坐標是

（1）連接，求線段的長；

（2）將線段繞點順時針旋轉到（點與點對應），求點的斜坐標；

（3）若點是直線上一動點，在斜坐標系確定的平面內(nèi)以點為圓心，長為半徑作，當⊙與軸相切時，求點的斜坐標，

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的斜坐標為（9，）；（3）點D的斜坐標為：（，3）或（6，12）．

【解析】

（1）過點P作PC⊥OA，垂足為C，由平行線的性質，得∠PAC=，由AP=6，則AC=3，，再利用勾股定理，即可求出OP的長度；

（2）根據(jù)題意，過點Q作QE∥OC，QF∥OB，連接BQ，由旋轉的性質，得到OP=OQ，∠COP=∠BOQ，則△COP≌△BOQ，則BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ是等邊三角形，則BE=EQ=BQ=3，則OE=9，OF=3，即可得到點Q的斜坐標；

（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況進行①當OP和CM恰好是平行四邊形OMPC的對角線時，此時點D是對角線的交點，求出點D的坐標即可；②取OJ=JN=CJ，構造直角三角形OCN，作∠CJN的角平分線，與直線OP相交與點D，然后由所學的性質，求出點D的坐標即可．

解：（1）如圖，過點P作PC⊥OA，垂足為C，連接OP，

∵AP∥OB，

∴∠PAC=，

∵PC⊥OA，

∴∠PCA=90°，

∵點的斜坐標是，

∴OA=3，AP=6，

∴，

∴，

∴，，

在Rt△OCP中，由勾股定理，得

；

（2）根據(jù)題意，過點Q作QE∥OC，QF∥OB，連接BQ，如圖：

由旋轉的性質，得OP=OQ，∠POQ=60°，

∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，

∴∠COP=∠BOQ，

∵OB=OC=6，

∴△COP≌△BOQ（SAS）；

∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，

∴∠EBQ=60°，

∵EQ∥OC，

∴∠BEQ=60°，

∴△BEQ是等邊三角形，

∴BE=EQ=BQ=3，

∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，

∵點Q在第四象限，

∴點的斜坐標為（9，）；

（3）①取OM=PC=3，則四邊形OMPC是平行四邊形，連接OP、CM，交點為D，如圖：

由平行四邊形的性質，得CD=DM，OD=PD，

∴點D為OP的中點，

∵點P的坐標為（3，6），

∴點D的坐標為（，3）；

②取OJ=JN=CJ，則△OCN是直角三角形，

∵∠COJ=60°，

∴△OCJ是等邊三角形，

∴∠CJN=120°，

作∠CJN的角平分線，與直線OP相交于點D，作DN⊥x軸，連接CD，如圖：

∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，

∴△CJD≌△NJD（SAS），

∴∠JCD=∠JND=90°，

則由角平分線的性質定理，得CD=ND；

過點D作DI∥x軸，連接DJ，

∵∠DJN=∠COJ=60°，

∴OI∥JD，

∴四邊形OJDI是平行四邊形，

∴ID=OJ=JN=OC=6，

在Rt△JDN中，∠JDN=30°，

∴JD=2JN=12；

∴點D的斜坐標為（6，12）；

綜合上述，點D的斜坐標為：（，3）或（6，12）．