Question

（2010•長春）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△AOB的斜邊OB在x軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），AD為斜邊上的高，拋物線y=ax²+2x與直線y=x交于點(diǎn)O，C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6，點(diǎn)P在x軸的正半軸上，過點(diǎn)P作PE∥y軸．交射線OA于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，以A，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S．
（1）求OA所在直線的解析式．
（2）求a的值．
（3）當(dāng)m≠3時，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．
（4）如圖2，設(shè)直線PE交射線OC于點(diǎn)R，交拋物線于點(diǎn)Q，以RQ為一邊，在RQ的右側(cè)作矩形RQMN，其中RN=．直接寫出矩形RQMN與△AOB重疊部分為軸對稱圖形時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出正比例函數(shù)直線OA的解析式；
（2）根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)以及直線OC的解析式，可確定C點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)a的值；
（3）已知了A點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出OD、AD的長，由于△OAB是等腰直角三角形，即可確定OB的長；欲求四邊形ABDE的面積，需要分成兩種情況考慮：
①0＜m＜3時，P點(diǎn)位于線段OD上，此時陰影部分的面積為△AOB、△ODE的面積差；
②m＞3時，P點(diǎn)位于D點(diǎn)右側(cè)，此時陰影部分的面積為△OBE、△OAD的面積差；
根據(jù)上述兩種情況陰影部分的面積計算方法，可求出不同的自變量取值范圍內(nèi)，S、m的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若矩形RQMN與△AOB重疊部分為軸對稱圖形，首先要找出其對稱軸；
①由于直線OA的解析式為y=x，若設(shè)QM與OA的交點(diǎn)為H，那么∠QEH=45°，△QEH是等腰直角三角形；那么當(dāng)四邊形QRNM是正方形時，重合部分是軸對稱圖形，此時的對稱軸為QN所在的直線；可得QR=RN，由此求出m的值；
②以QM、RN的中點(diǎn)所在直線為對稱軸，此時AD所在直線與此對稱軸重合，可得PD=RN=，由OP=OD-PD即可求出m的值；
③當(dāng)P、D重合時，根據(jù)直線OC的解析式y(tǒng)=x知：RD=；此時R是AD的中點(diǎn)，由于RN∥x軸，且RN==DB，所以N點(diǎn)恰好位于AB上，RN是△ABD的中位線，此時重合部分是等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是軸對稱圖形，所以此種情況也符合題意，此時OP=OD=3，即m=3；
當(dāng)R在AB上時，根據(jù)直線OC的解析式可用m表示出R的縱坐標(biāo)，即可得到PR、PB的表達(dá)式，根據(jù)PR=PB即可求出m的值；
根據(jù)上述三種軸對稱情況所得的m的值，及R在AB上時m的值，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
則有：3k=3，k=1；
∴直線OA的解析式為y=x；

（2）當(dāng)x=6時，y=x=3，
∴C（6，3）；
將C（6，3）代入拋物線的解析式中，
得：36a+12=3，a=-；
即a的值為-；

（3）根據(jù)題意，D（3，0），B（6，0）．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PE∥y軸交OA于點(diǎn)E，
∴E（m，m）．
當(dāng)0＜m＜3時，如圖1，
S=S_△OAB-S_△OED
=．
當(dāng)m＞3時，如圖2，
S=S_△OBE-S_△ODA
=
=．

（4）m=．
提示：
如圖3、RQ=RN時，m=3-；
如圖4、AD所在的直線為矩形RQMN的對稱軸時，m=；
如圖5、RQ與AD重合時，重疊部分為等腰直角三角形，m=3；
如圖6、當(dāng)點(diǎn)R落在AB上時，m=4，所以3≤m＜4．


點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、軸對稱圖形的性質(zhì)等重要知識，在求動點(diǎn)類問題時，一定要分類討論，以免漏解．