Question

試求出所有滿足下列條件的正整數(shù)a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd-1是（a-1）•（b-1）•（c-1）•（d-1）的整數(shù)倍．

Answer 1

分析：首先由abcd-1是（a-1）•（b-1）•（c-1）•（d-1）的整數(shù)倍得出，設(shè)k=

abcd-1

(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)

，確定k的取值范圍，
再分別確定a，b，c，d的取值．

解答：解：設(shè)k=

abcd-1

(a-1)(b-1)(c-1)(d-1)

，則由題意，k為正整數(shù)，
∴a，b，c，d都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，
且1＜k＜

a

a-1

×

b

b-1

×

c

c-1

×

d

d-1

，
又易證：對(duì)于任意的正整數(shù)m，n且m＞1，有

m+n

m-1+n

＜

m

m-1

，
∵1＜a＜b＜c＜d，
∴當(dāng)a≥5時(shí)，

a

a-1

≤

5

4

，

b

b-1

≤

6

5

，

c

c-1

≤

7

6

，

d

d-1

≤

8

7

，
∴1＜k＜

5

4

×

6

5

×

7

6

×

8

7

=2，
即1＜k＜2，
這是不可能的，∴1＜a≤4，
當(dāng)a=4時(shí)，則b，c，d都是偶數(shù)，從而k為奇數(shù)，
∴b≥6，c≥8，d≥10，k≥3，
∴3≤k＜

4

3

×

6

5

×

8

7

×

10

9

=

128

63

＜3，
即3≤k＜3，這是不可能的．
當(dāng)a=3時(shí)，則b，c，d都是奇數(shù)，
∴b≥5，c≥7，d≥9，
∴1≤k＜

3

2

×

5

4

×

7

6

×

9

8

=

315

218

＜3，
∴k=2，
若b=7，則k=

3×7cd-1

2×6(c-1)(d-1)

，于是分子不是3的倍數(shù)，而分母是3的倍數(shù)．
從而k不是整數(shù)，∴b≠7，
若b≥9，則由于c-1，d-1都不是3的倍數(shù)，
∴2=k＜

3

2

×

9

8

×

11

10

×

15

14

=

891

448

＜2，這是不可能的，
∴a=3時(shí)，k=2，b=5，
∴2=

15cd-1

8(c-1)(d-1)

cd-16c-16d+17=0，
∴（c-16）（d-16）=239為質(zhì)數(shù)，
∴c-16=1，d-16=239，
∴a=3，b=5，c=17，d=255是符合題意的一組值．
當(dāng)a=2時(shí)，b，c，d為偶數(shù)．k為奇數(shù)，
∴3≤k＜2×

4

3

×

6

5

×

8

7

=

128

35

＜4，
∴k=3，
∴2bcd-1=3（b-1）（c-1）（d-1），
∴bcd不是3的倍數(shù)．
若b≠4，則b≥8，c≥10，d≥14，于是k＜2×

8

7

×

10

9

×

14

3

=

2240

819

＜3，
k=3矛盾，∴a=2時(shí)，b=4，k=3，
∴3=

2×4cd-1

3(c-1)(d-1)

，
∴（c-9）（d-9）=71為質(zhì)數(shù)，
∴c-9=1，d-9=71，
∴a=2，b=4，c=10，d=80是符合題意的另一組值．
綜上所述，所以滿足條件的正整數(shù)解a，b，c，d有兩組解．

a=3 b=5 c=17 d=255

和

a=2 b=4 c=10 d=80

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)的整除性的性質(zhì)，以及利用參數(shù)確定未知數(shù)取值范圍和質(zhì)數(shù)的定義等有關(guān)知識(shí)．