Question

如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉得到正方形A′B′C′D′，，則圖中陰影部分的面積為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：設B′C′與CD交于點E．由于陰影部分的面積=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AB′ED}，又S_{正方形ABCD}=1，所以關鍵是求S_{四邊形AB′ED}．為此，連接AE．根據HL易證△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定義得出DE=AD•tan∠DAE=．再利用三角形的面積公式求出S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE．
解答：解：設B′C′與CD交于點E，連接AE．
在△AB′E與△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，
∵，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD•tan∠DAE=．
∴S_{四邊形AB′ED}=2S_△ADE=2××1×=．
∴陰影部分的面積=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AB′ED}=1-，
故選D．
點評：本題主要考查了正方形、旋轉的性質，直角三角形的判定及性質，圖形的面積以及三角函數等知識，綜合性較強，有一定難度．