Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝90°，BC與y軸相交于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標(biāo)分別是A(－1，0)，B(－1，2)，D(3，0)．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點D、M、N．

(1)求拋物線的解析式．

(2)拋物線上是否存在點P，使得PA＝PC，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

(3)設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為E，點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)點Q在什么位置時有|QE－QC|最大？并求出最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵BC∥AD，B(－1，2)，M是BC與x軸的交點，∴M(0，2)， 　　∵DM∥ON，D(3，0)，∴N(－3，2)，則，解得，∴； 　　(2)連接AC交y軸與G，∵M是BC的中點，∴AO＝BM＝MC，AB＝BC＝2，∴AG＝GC，即G(0，1)， 　　∵∠ABC＝90°，∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分線，要使PA＝PC，即點P在AC的垂直平分線上，故P在直線BG上， 　　∴點P為直線BG與拋物線的交點， 　　設(shè)直線BG的解析式為，則，解得，∴， 　　∴，解得，， 　　∴點P()或P()， 　　(3)∵，∴對稱軸， 　　令，解得，，∴E(，0)， 　　故E、D關(guān)于直線對稱，∴QE＝QD，∴|QE－QC|＝|QD－QC|， 　　要使|QE－QC|最大，則延長DC與相交于點Q，即點Q為直線DC與直線的交點， 　　由于M為BC的中點，∴C(1，2)，設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b， 　　則，解得，∴， 　　當(dāng)時，， 　　故當(dāng)Q在()的位置時，|QE－QC|最大， 　　過點C作CF⊥x軸，垂足為F，則CD＝．