Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C與y軸相切，且C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），直線l過(guò)點(diǎn)A（-1，0），與⊙C相切于點(diǎn)D，求：
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）直線l的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專(zhuān)題：

分析：（1）連接CD，由于直線l為⊙C的切線，故CD⊥AD．C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），故OC=1，即⊙C的半徑為1，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），可求出∠CAD=30度．作DE⊥AC于E點(diǎn)，則∠CDE=∠CAD=30°，可求出CE，進(jìn)而得出OE，DE，得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）設(shè)直線l的函數(shù)解析式為y=kx+b，把A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出未知數(shù)的值從而求出其解析式．

解答：解：（1）如圖所示，當(dāng)直線l在x軸的上方時(shí)，
連接CD，
∵直線l為⊙C的切線，
∴CD⊥AD．
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴OC=1，即⊙C的半徑為1，
∴CD=OC=1．
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴AC=2，
∴∠CAD=30°，
∴AD=

3

，DE=

3

2

，AE=

3

2

，
∴OE=

1

2

，
∴D（

1

2

，

3

2

），
（2）設(shè)直線l解析式為：y=kx+b（k≠0），則，
解得k=

3

3

，b=

3

3

，
∴直線l的函數(shù)解析式為y=

3

3

x+

3

3

．
同理可得，當(dāng)直線l在x軸的下方時(shí)，直線l的函數(shù)解析式為y=-

3

3

x-

3

3

．
故直線l的函數(shù)解析式為y=

3

3

x+

3

3

或y=-

3

3

x-

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題把求一次函數(shù)的解析式與圓的性質(zhì)相結(jié)合，增加了題目的難度，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的知識(shí)解答．