Question

如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次方程y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到B，C兩點距離之差最大？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中，聯(lián)立拋物線的對稱軸方程，即可求得該拋物線的解析式．
（2）由于A、B關于拋物線的對稱軸對稱，若P到B、C的距離差最大，那么P點必為直線AC與拋物線對稱軸的交點，可先求出直線AC的解析式，聯(lián)立拋物線對稱軸方程，即可得到點P的坐標．
解答：解：（1）將C（0，-3）代入y=ax²+bx+c中，得到c=-3．（1分）
將c=-3，B（3，0）代入y=ax²+bx+c中，
得，9a+3b-3=0，
∴3a+b-1=0①（2分）
∵x=1是對稱軸，
∴，（3分）
∵b=-2a，②
將②代入①的a=1，
∴b=-2，
∴二次函數(shù)的解析式是y=x²-2x-3．（4分）

（2）∵P在拋物線的對稱軸上，又A、B是關于拋物線的對稱軸對稱，
∴PB=PA，即：|PB-PC|=|PA-PC|，
（根據(jù)對稱性，求P到B和C的距離之差就是求P到A和C的距離之差）
∴P、C、A三點共線的時候這個差最大．（6分）
∵C點的坐標是（0，-3），A點的坐標是（-1，0），
∴直線AC的解析式是y=-3x-3；
又因為對稱軸為x=1，
所以點P坐標是（1，-6）．（8分）
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質等重要知識點，難度適中；（2）題中能夠正確的判斷出點P的位置是解題的關鍵．