Question

3．設(shè)二次方程ax²+bx+c=0的系數(shù)a、b、c都是奇數(shù)，它的兩個實根x₁、x₂滿足-1＜x₁＜0，x₂＞1，若b²-4ac=5，求x₁、x₂．

Answer 1

分析 根據(jù)二次方程ax²+bx+c=0的系數(shù)a、b、c都是奇數(shù)，它的兩個實根x₁、x₂滿足-1＜x₁＜0，x₂＞1，若b²-4ac=5，根與系數(shù)的關(guān)系，可以得到a、c的值以及a、c與b的關(guān)系，從而可以得到x₁、x₂的值．

解答 解：∵二次方程ax²+bx+c=0的系數(shù)a、b、c都是奇數(shù)，它的兩個實根x₁、x₂滿足-1＜x₁＜0，x₂＞1，b²-4ac=5，
∴${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}＜0$，b²=5+4ac＞0，
∴$ac＞-\frac{4}{5}$，
∴$-\frac{4}{5}＜ac＜0$，
∴當(dāng)a=1時，c=-1或a=-1時，c=1；
∴當(dāng)a=1時，c=-1時，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{a}=-\frac{1}}\\{^{2}-4ac=^{2}-4×1×（-1）=^{2}+4=5}\end{array}\right.$
解得$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵-1＜x₁＜0，x₂＞1，
∴${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
當(dāng)a=-1，c=1時，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{-1}=-1}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{a}=-\frac{-1}=b}\\{^{2}-4ac=^{2}-4×（-1）×1=^{2}+4=5}\end{array}\right.$
解得$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵-1＜x₁＜0，x₂＞1，
∴${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
由上可得，${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查根與系數(shù)的關(guān)系、不等式，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題．