Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，請(qǐng)直接寫出P′點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；（2）當(dāng)時(shí)， S取得最大值，最大值為；（3）把P′坐標(biāo)（）代入拋物線解析式，不成立，所以不在拋物線上．

【解析】

（1）根據(jù)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可以運(yùn)用交點(diǎn)式法求得拋物線的解析式．再根據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)B，D的坐標(biāo)運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BD的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式以及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式得到s與x之間的函數(shù)關(guān)系式．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即x的值位于點(diǎn)D和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)之間．根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可分析其最值；

（3）根據(jù)（2）中的坐標(biāo)得點(diǎn)E和點(diǎn)C重合．過(guò)P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點(diǎn)M．要求P′H和OH的長(zhǎng)．P′H的長(zhǎng)可以運(yùn)用直角三角形P′CM的面積進(jìn)行計(jì)算．設(shè)MC＝m，則MF＝m，P′M＝3m，P′E＝32．根據(jù)勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三邊后，再根據(jù)直角三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．要求OH的長(zhǎng)，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)，只需根據(jù)勾股定理進(jìn)一步求得CH的長(zhǎng)即可．把求得的點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．

（1）設(shè)，

把代入，得，

∴拋物線的解析式為：，

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）設(shè)直線解析式為：（），把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，

得

解得，

∴直線解析式為，

，

∴，

，

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為；

（3）當(dāng)取得最大值，，，

∴，

∴四邊形是矩形，

作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

法一：過(guò)作軸于，交軸于點(diǎn)，

設(shè)，則，

在中，由勾股定理，

，

解得，

∵，

∴，

由，可得，，

∴，

∴坐標(biāo)；

法二：連接，交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，

易證，

∴，

設(shè)，則，

∴，，

由三角形中位線定理，

，

∴，即，

，

∴坐標(biāo)．

把坐標(biāo)代入拋物線解析式，不成立，所以不在拋物線上．