Question

7．如圖，已知，A（0，4），B（-3，0），C（2，0），D為B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過D點(diǎn)．
（1）證明：四邊形ABCD為菱形；
（2）求此反比例函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)過點(diǎn)C和點(diǎn)D的一次函數(shù)y=kx+b，求不等式kx+b-$\frac{k}{x}$＞0的解．（請直接寫出答案）；
（4）己知在y=$\frac{k}{x}$的圖象上一點(diǎn)N，y軸上一點(diǎn)M，且點(diǎn)A、B、M、N組成四邊形是平行四邊形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算出AB=5，BC=5，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得AD=AB=5，CD=CB=5，于是可根據(jù)菱形的判定方法得到四邊形ABCD為菱形；
（2）由菱形的性質(zhì)得AD∥BC，則D（5，4），然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值即可得到反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{20}{x}$；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，再通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{20}{x}}\\{y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$得直線CD與反比例函數(shù)y=$\frac{20}{x}$的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4），（-3，-$\frac{20}{3}$），然后觀察函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可；
（4）討論：當(dāng)AM為對角線，如圖，利用平行四邊形的性質(zhì)，可把B點(diǎn)向右平移3個(gè)單位可得M點(diǎn)，則A點(diǎn)向右平移3個(gè)單位可得N點(diǎn)，則利用反比例函數(shù)解析式可確定N（3，$\frac{20}{3}$），于是得到A點(diǎn)向右平移3個(gè)單位，再向上平移（$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$）單位可得N點(diǎn)，利用同樣平移得到M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{8}{3}$）；當(dāng)AM′為邊，如圖，由四邊形ABN′M′為平行四邊形得到BN′∥AM′，AM′=BN′，則可確定N′（-3，-$\frac{20}{3}$），所以BN′=AM′=$\frac{20}{3}$，則OM′=$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$，易得M′點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{8}{3}$）或（0，$\frac{32}{3}$）

解答 （1）證明：∵A（0，4），B（-3，0），C（2，0），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，BC=5，
∵D為B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，
∴AD=AB=5，CD=CB=5，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四邊形ABCD為菱形；
（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD∥BC，
而AD=5，A（0，4），
∴D（5，4），
把D（5，4）代入y=$\frac{k}{x}$得k=5×4=20，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{20}{x}$；
（3）解：把C（2，0），D（5，4）代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{5a+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{20}{x}}\\{y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線CD與反比例函數(shù)y=$\frac{20}{x}$的交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，4），（-3，-$\frac{20}{3}$），
∴當(dāng)-3＜x＜0或x＞5時(shí)，ax+b-$\frac{k}{x}$＞0，
即不等式kx+b-$\frac{k}{x}$＞0的解為-3＜x＜0或x＞5；
（4）解：當(dāng)AM為對角線，如圖，∵四邊形ABMN為平行四邊形，
∴B點(diǎn)向右平移3個(gè)單位可得M點(diǎn)，A點(diǎn)向右平移3個(gè)單位可得N點(diǎn)，
∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=$\frac{20}{x}$=$\frac{20}{3}$，則N（3，$\frac{20}{3}$），
∴A點(diǎn)向右平移3個(gè)單位，再向上平移（$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$）單位可得N點(diǎn)，
∴B點(diǎn)向右平移3個(gè)單位可得M點(diǎn)，再向上平移$\frac{8}{3}$單位可得M點(diǎn)，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{8}{3}$）；
當(dāng)AM′為邊，如圖，
∵四邊形ABN′M′為平行四邊形，
∴BN′∥AM′，AM′=BN′，
∴N′點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，則N′（-3，-$\frac{20}{3}$），
∴BN′=AM′=$\frac{20}{3}$，
∴OM′=$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$，或OM′=OA+AM′=$\frac{32}{3}$，
此時(shí)M′點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{8}{3}$）或（0，$\frac{32}{3}$）
綜上所述，滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，$\frac{8}{3}$），（0，-$\frac{8}{3}$），（0，$\frac{32}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的判定方法和平行四邊形的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長；會求反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；能運(yùn)用分類討論的思想數(shù)學(xué)解決問題．