Question

1．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=AD=4cm，BC=6cm，點(diǎn)O在BC上，且BO=4cm，連接AO．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，先以每秒2cm的速度沿線段AO運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)O后，再以每秒1cm的速度沿線段OC運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C立即停止運(yùn)動；在點(diǎn)E運(yùn)動的每一個時刻，過點(diǎn)E作BC的垂線EF交直線AD于F，以線段EF為邊長向右作正方形EFGH，點(diǎn)G在直線AD上．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時間為t秒． 
（1）求點(diǎn)H恰好落在線段CD上時t的值； 
（2）當(dāng)點(diǎn)E在AO上運(yùn)動時，是否存在這樣的t，使得△EBC為等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由； 
（3）設(shè)正方形EFGH與梯形ABCD重疊部分的面積為Scm²，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)路程=速度×?xí)r間得出AE=2t，由△AEF是等腰直角三角形以及正方形的性質(zhì)得到AF=EF=FG=GH=$\sqrt{2}$t，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，再由AG=AF+FG=AD+DG，列出方程，解方程即可求解；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在AO上運(yùn)動時，由于BC≠BE，所以△EBC為等腰三角形時，可分兩種情況進(jìn)行討論：①EB=EC；②BC=CE=6；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤$\sqrt{2}$時，正方形EFGH與梯形ABCD重疊部分是正方形EFGH；②當(dāng)$\sqrt{2}$＜t≤2$\sqrt{2}$時，正方形EFGH與梯形ABCD重疊部分是梯形DFEM；③當(dāng)2$\sqrt{2}$＜t≤2$\sqrt{2}$+2時，正方形EFGH與梯形ABCD重疊部分是三角形CEM．依此即可求解．

解答 解：（1）如圖1，連接OD，則四邊形ABOD是正方形，
設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時間為t秒，
∵點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，先以每秒2cm的速度沿線段AO運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)O后，再以每秒1cm的速度沿線段OC運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C立即停止運(yùn)動，
∴當(dāng)點(diǎn)H落在線段CD上時，E在AO上運(yùn)動，此時AE=2t，
∴AF=EF=FG=GH=$\sqrt{2}$t，
∵△DGH∽△COD，
∴DG：GH=OC：OD=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴DG=$\frac{1}{2}$GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∵AG=AF+FG=AD+DG，
∴2$\sqrt{2}$t=4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
解得t=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；

（2）①如圖2，當(dāng)EB=EC時，設(shè)EF交BC于P，則BP=3，
∴OP=1，EF=3，AE=3$\sqrt{2}$=2t，
∴t=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
②如圖3，當(dāng)BC=CE=6時，AE=2t，BP=AF=$\sqrt{2}$t，OP=PE=6-2-$\sqrt{2}$t=4-$\sqrt{2}$t，
∵CE²=PE²+CP²，
∴36=（4-$\sqrt{2}$t）²+（6-$\sqrt{2}$t）²，
t=$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{34}}{2}$或t=$\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$＞4，不合題意，舍去．
故所求t的值為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或$\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{34}}{2}$；

（3）當(dāng)G到達(dá)D時，AF=FD=$\frac{1}{2}$AD=2，即$\sqrt{2}$t=2，t=$\sqrt{2}$；
當(dāng)F到達(dá)D時，E到達(dá)O，AF=4，$\sqrt{2}$t=4，t=2$\sqrt{2}$；
如圖所示，分三種情況：
①如圖4，當(dāng)0＜t≤$\sqrt{2}$時，AE=2t，AF=FE=$\sqrt{2}$t，
則S=S_{正方形EFGH}=FE²=2t²；
②如圖5，當(dāng)$\sqrt{2}$＜t≤2$\sqrt{2}$時，AE=2t，AF=FE=$\sqrt{2}$t，DF=4-$\sqrt{2}$t．
∵$\frac{MN}{DN}$=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$DN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$t=$\frac{\sqrt{2}t}{2}$，
∴ME=MN+NE=$\frac{\sqrt{2}t}{2}$+4-$\sqrt{2}$t=4-$\frac{\sqrt{2}t}{2}$，
∴S=S_梯形DFEM=$\frac{1}{2}$（4-$\sqrt{2}$t+4-$\frac{\sqrt{2}t}{2}$）×$\sqrt{2}$t=-$\frac{3}{2}$t²+4$\sqrt{2}$t；
③如圖6，當(dāng)2$\sqrt{2}$＜t≤2$\sqrt{2}$+2時，
∵OE=1×（t-2$\sqrt{2}$）=t-2$\sqrt{2}$，
CE=OC-OE=2-（t-2$\sqrt{2}$）=2+2$\sqrt{2}$-t，
∵$\frac{CE}{ME}$=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴ME=2CE=2（2+2$\sqrt{2}$-t），
∴S=S_△CEM=$\frac{1}{2}$CE•ME=$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{2}$-t）×2（2+2$\sqrt{2}$-t）=（2+2$\sqrt{2}$-t）²．
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}（0＜t≤\sqrt{2}）}\\{-\frac{3}{2}{t}^{2}+4\sqrt{2}t（\sqrt{2}＜t≤2\sqrt{2}）}\\{（2+2\sqrt{2}-t）^{2}（2\sqrt{2}＜t≤2\sqrt{2}+2）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，路程、速度與時間關(guān)系的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的面積，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．利用分類討論、數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．