Question

7．?dāng)?shù)學(xué)活動-旋轉(zhuǎn)變換
（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大�。�
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓．
（Ⅰ）猜想：直線BB′與⊙A′的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）連接A′B，求線段A′B的長度；
（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，連接A′B和BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓，問：角α與角β滿足什么條件時，直線BB′與⊙A′相切，請說明理由，并求此條件下線段A′B的長度（結(jié)果用角α或角β的三角函數(shù)及字母m、n所組成的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C，只要求出∠BB′C即可．
（2）（Ⅰ）結(jié)論：直線BB′與⊙A′相切．只要證明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在Rt△ABB′中，利用勾股定理計算即可．
（3）如圖③中，當(dāng)α+β=180°時，直線BB′與⊙A′相切．只要證明∠A′B′B=90°即可解決問題．在△CBB′中求出BB′，再在Rt△A′B′B中利用勾股定理即可．

解答 解；（1）如圖①中，∵△A′B′C是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，
∴∠CBB′=∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=65°．
（2）（Ⅰ）結(jié)論：直線BB′與⊙A′相切．
理由：如圖②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，
∴∠CBB′=∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直線BB′與⊙A′相切．
（Ⅱ）∵在Rt△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
∴A′B=$\sqrt{AB{′}^{2}+B′{B}^{2}}$=$\sqrt{34}$．
（3）如圖③中，當(dāng)α+β=180°時，直線BB′與⊙A′相切．
理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，
∴∠CBB′=∠CB′B=$\frac{180°-2β}{2}$，
∴∠A′B′B=∠A′B′C-∠BB′C=α-90°+β=180°-90°=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直線BB′與⊙A′相切．
在△CBB′中，∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，
∴BB′=2•nsinβ，
在Rt△A′BB′中，A′B=$\sqrt{BB{′}^{2}+A′B{′}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}si{n}^{2}β}$．

點評 本題考查圓的綜合題、旋轉(zhuǎn)不變性、勾股定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運用這些知識解決問題，充分利用旋轉(zhuǎn)不變性，屬于中考壓軸題．