【題目】如圖①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn),過O點(diǎn)作EFBCAB、ACE、F.

(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EFBE、CF之間有怎樣的關(guān)系.

(2)如圖②,ABAC,其他條件不變,圖中還有等腰三角形嗎?如果有,分別指出它們.在第(1)問中EFBECF間的關(guān)系還存在嗎?

(3)如圖③,若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O,過O點(diǎn)作OEBCABE,交ACF.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EFBECF關(guān)系又如何?說明你的理由.

【答案】1)△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC5個(gè),EF=BE+FC;(2)有,△EOB、△FOC,存在;(3)有,EF=BE-FC

【解析】

1)由AB=AC,可得∠ABC=ACB;又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB;故∠EBO=OBC=FCO=OCB;根據(jù)EFBC,可得:∠OEB=OBC=EBO,∠FOC=FCO=BCO;由此可得出的等腰三角形有:△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形,則EO=BE,OF=FC,則EF=BE+FC
2)由(1)的證明過程可知:在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中,與AB=AC的條件沒有關(guān)系,故這兩個(gè)等腰三角形還成立.所以(1)中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立.
3)思路與(2)相同,只不過結(jié)果變成了EF=BE-FC

解:(1)圖中是等腰三角形的有:△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
EF、BEFC的關(guān)系是EF=BE+FC.理由如下:

AB=AC,
∴∠ACB=ABC,△ABC是等腰三角形;
BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB
∴∠ABO=OBC=ABC,∠OCB=ACO=ACB
EFBC,
∴∠EOB=OBC,∠FOC=OCB,
∴∠ABO=OBC=EOB=OCB=FOC=FCO
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形,
EFBC,
∴∠AEF=ABC,∠AFE=ACB,
∴∠AEF=AFE,
∴△AEF是等腰三角形,
OBOC平分∠ABC、∠ACB
∴∠ABO=OBC,∠ACO=OCB;
EFBC,
∴∠EOB=OBC=EBO,∠FOC=OCB=FCO;
EO=EB,FO=FC;
EF=EO+OF=BE+CF;
2)當(dāng)ABAC時(shí),△EOB、△FOC仍為等腰三角形,(1)的結(jié)論仍然成立.
OBOC平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABO=OBC,∠ACO=OCB;
EFBC,
∴∠EOB=OBC=EBO,∠FOC=OCB=FCO;
EO=EB,FO=FC
EF=EO+OF=BE+CF;
3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形,EF=BE-FC.理由如下:
同(1)可證得△EOB是等腰三角形;
EOBC,
∴∠FOC=OCG
OC平分∠ACG,
∴∠ACO=FOC=OCG
FO=FC,故△FOC是等腰三角形;
EF=EO-FO=BE-FC

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線段MN的長(zhǎng);

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⑤∠APB的大。

其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是( )

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