Question

11．如圖，拋物線y=ax²-x+c與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），直線y=x+b與拋物線交于A、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線AC的解析式；
（2）以AC為直徑的⊙D與x軸交于兩點(diǎn)A、E，與y軸交于兩點(diǎn)M、N，分別求出D、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP的內(nèi)心也在對(duì)稱軸上？若存在，說出內(nèi)心在對(duì)稱軸上的理由，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明原因．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；
（2）聯(lián)立方程求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓心D的坐標(biāo)，然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求得；
（3）求得拋物線的對(duì)稱軸，然后作CG⊥y軸，交對(duì)稱軸與G，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于H，由題意可知∠APH=∠CPG，從而證得△APH∽△CPG，得出$\frac{AH}{PH}$=$\frac{CG}{PG}$，設(shè)P的坐標(biāo)為（1，a），則AH=2，PH=-a，CG=4，PG=6-a，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得a的值．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-x+c與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1+c=0}\\{9a-3+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，
∵直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴-1+b=0，解得：b=1，
∴直線AC的解析式為y=x+1；

（2）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴A（-1，0），C（5，6），
∴圓心D的坐標(biāo)為（2，3），AC=$\sqrt{（5+1）^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
如圖1，作DE⊥y軸于E，則DE=2，連接DM，則DM=3$\sqrt{2}$，
∴DM=$\sqrt{D{M}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{14}$，
∴M（0，3+$\sqrt{14}$），N（0，3-$\sqrt{14}$）；

（3）如圖2，作CG⊥y軸，交對(duì)稱軸與G，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于H，
由題意可知∠APH=∠CPG，
∴△APH∽△CPG，
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{CG}{PG}$，
∵拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2
∴拋物線的對(duì)稱軸為y=1，
設(shè)P的坐標(biāo)為（1，a），
∴AH=2，PH=-a，CG=4，PG=6-a，
∴$\frac{2}{-a}$=$\frac{4}{6-a}$，
解得a=-6，
∴P（1，-6）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用、三角形相似的判定和性質(zhì)等知識(shí)，（3）根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得出∠APH=∠CPG是解題的關(guān)鍵．