Question

如圖，已知AB是半圓O的直徑，AP為過(guò)點(diǎn)A的半圓的切線(xiàn)．在

AB

上任取一點(diǎn)C（點(diǎn)C與A、B不重合），過(guò)點(diǎn)C作半圓的切線(xiàn)CD交AP于點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．連接BD，交CE于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)C為

AB

的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），求證：CF=EF；
（2）當(dāng)點(diǎn)C不是

AB

的中點(diǎn)時(shí)（如圖2），試判斷CF與EF的相等關(guān)系是否保持不變，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由題意得DA⊥AB，點(diǎn)E為半圓的圓心，DC⊥EC，可得四邊形DAEC是矩形，即可得出

EF

AD

= 

BE

AB

，即可得EF與EC的關(guān)系，可知CF=EF；
（2）連接BC，并延長(zhǎng)BC交AP于G點(diǎn)，連接AC，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得DC=DA，∠DAC=∠DCA，再由角度代換關(guān)系可得出∠DGC=∠DCG，即可得GD=DC=DA，由已知可得CE∥AP，所以

CF

GD

= 

BE

AB

= 

EF

AD

，即可知CF=EF．

解答：證明：（1）∵DA是切線(xiàn)，AB為直徑，
∴DA⊥AB．
∵點(diǎn)C是

AB

的中點(diǎn)，且CE⊥AB，
∴點(diǎn)E為半圓的圓心．
又∵DC是切線(xiàn)，
∴DC⊥EC．
又∵CE⊥AB，
∴四邊形DAEC是矩形．
∴CD∥AO，CD=AD．
∴

EF

AD

= 

BE

AB

=

1

2

．
即EF=

1

2

AD=

1

2

EC．
∴F為EC的中點(diǎn)，CF=EF．

（2）CF=EF，
證明：連接BC，并延長(zhǎng)BC交AP于G點(diǎn)，連接AC，如圖所示：
∵AD、DC是半圓O的切線(xiàn)，∴DC=DA，
∴∠DAC=∠DCA．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACG=90°．
∴∠DGC+∠DAC=∠DCA+∠DCG=90°．
∴∠DGC=∠DCG．
∴在△GDC中，GD=DC．
∵DC=DA，
∴GD=DA．
∵AP是半圓O的切線(xiàn)，
∴AP⊥AB，又CE⊥AB．
∴CE∥AP．
∴

CF

GD

= 

BE

AB

= 

EF

AD

．
∵GD=AD，
∴CF=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)．