Question

如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)P，Q是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線PQ與⊙O相切；
（2）連結(jié)PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E、交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)PC，若OC=

5

，tan∠OPC=

1

2

，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,解直角三角形

專題：證明題

分析：（1）結(jié)PO、PC，根據(jù)圓周角定理由BC是⊙O的直徑得∠BPC=90°，而Q是AC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得PQ=CQ，則∠CPQ=∠PCQ，加上∠OPC=∠OCP，所以∠OPC+∠CPQ=∠OCP+∠PCQ=∠BCA=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到直線PQ與⊙O相切；、
（2）連結(jié)CE，由EP是直徑得∠ECP=90°，即∠ECO+∠OCP=90°，而∠ECO+∠ECF=90°，所以∠ECF=∠OCP=∠OPC，可證明△FEC∽△FCP，根據(jù)相似的性質(zhì)得

EF

CF

=

CF

PF

=

EC

PC

；在Rt△EPC中，利用正切的定義得tan∠OPC=

EC

PC

=

1

2

，則CF=2EF，PF=2CF，所以PF=4EF，則PE=3EF，然后利用EF=2

5

可求出EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連結(jié)PO、PC，如圖，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BPC=90°，
∴∠APC=90°，
又∵Q是AC的中點(diǎn)，
∴PQ=CQ，
∴∠CPQ=∠PCQ，
∵OP=OC
∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC+∠CPQ=∠OCP+∠PCQ=∠BCA=90°，
∴OP⊥PQ，
∴直線PQ與⊙O相切；、
（2）解：連結(jié)CE，如圖，
∵EP是直徑，
∴∠ECP=90°，即∠ECO+∠OCP=90°，
又∵∠ECO+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠OCP=∠OPC，
而∠F=∠F
∴△FEC∽△FCP，
∴

EF

CF

=

CF

PF

=

EC

PC

，
在Rt△EPC中，tan∠OPC=

EC

PC

=

1

2

，
∴

EF

CF

=

CF

PF

=

1

2

，
∴CF=2EF，PF=2CF，
∴PF=4EF，
∴PE=3EF，
即3EF=2×

5

，
∴EF=

2 5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．