Question

已知關(guān)于x的兩個(gè)方程ax²+bx+c=0①，與ax²+（b-a）x+c-b=0②，它們的系數(shù)滿足a＞b＞c，方程①有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根．
（1）證明：方程②一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若1是方程①的一個(gè)根，方程②的兩個(gè)根分別為x₁、x₂，令k=

c

a

，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=9？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明現(xiàn)由．

Answer 1

分析：（1）表示出根的判別式△，再根據(jù)方程①有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根求出a、c異號(hào)，從而確定出△＞0，然后根據(jù)當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根證明即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂、x₁x₂，再根據(jù)1是方程①的一個(gè)根用a、c表示出b，然后把x₁²x₂+x₁x₂²分解因式并整理成關(guān)于a、c的式子，再轉(zhuǎn)化為k的代數(shù)式，然后解方程求出k的值，再根據(jù)方程①有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根判斷出k的取值范圍，從而得解．

解答：（1）證明：△=（b-a）²-4a（c-b）=（a+b）²-4ac，
∵方程①有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根，
∴a≠0，且

c

a

＜0，
∴ac＜0，
∴-4ac＞0，
∵（a+b）²≥0，
∴△=（a+b）²-4ac＞0，
∴方程②一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵x₁、x₂是方程②的兩根，
∴x₁+x₂=-

b-a

a

=

a-b

a

，x₁x₂=

c-b

a

，
∵1是方程①的一個(gè)根，
∴a+b+c=0，
∴-b=a+c，
∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂）=

c-b

a

•

a-b

a

=

c+a+c

a

•

a+a+c

a

=（1+

2c

a

）（2+

c

a

），
∵k=

c

a

，
∴x₁²x₂+x₁x₂²=（1+2k）（2+k）=2k²+5k+2=9，
整理得，2k²+5k-7=0，
解得k₁=-

7

2

，k₂=1，
∵方程①有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根，
∴a≠0，k=

c

a

＜0，
∴k=-

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．