Question

【題目】如圖等邊，以為直徑的交于點(diǎn)，交于，于，下列結(jié)論正確的是：________．①是中點(diǎn)；②；③是的切線；④．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

連接AP．根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，同理證得點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)；然后由三角形中位線定理，圓心角、弧、弦間的關(guān)系來(lái)證明；連接OP，由切線的判定證得OP⊥PF即可．

連接AP．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，
∴點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，
故①正確；
同理，點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，
∴AE=EC，
故④正確；
∵連接PE．
點(diǎn)P、E分別是線段BC、AC的中點(diǎn)，BC=AC=AB（等邊三角形的三條邊相等），
∴PE=AB（三角形中位線定理），BP=BC=AB，
∴BP=PE（等量代換），
∴，
故②正確；
連接OP．
∵點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，
∴OP是△ABC的中位線，
∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，
∴PF⊥OP，
∵點(diǎn)P在⊙O上，
∴PF是⊙O的切線；
故③正確．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．

故答案為：①②③④．