Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

1

2

，8），直線y=-x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q（4，m）．
（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)所給條件，請直接寫出不等式-x+b＞

k

x

的解集

1＜x＜4

；
（3）設(shè)該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P，連結(jié)OP、OQ，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析：（1）先把點(diǎn)（

1

2

，8）代入y=

k

x

可求出k的值，從而得到反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

；再把Q（4，m）代入反比例函數(shù)解析式求出m，確定Q點(diǎn)坐標(biāo)（4，1），
然后把Q（4，1）代入y=-x+b求出b即可得到直線的解析式；
（2）先解方程組

y=-x+5 y= 4 x

得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），然后觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)1＜x＜4時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，即-x+b＞

k

x

；
（3）先確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用S_△OPQ=S_△OAB-S_△OBP-S_△OQA和三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）把點(diǎn)（

1

2

，8）代入y=

k

x

得k=

1

2

×8=4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

；
把Q（4，m）代入y=

4

x

得4m=4，解得m=1，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，1），
把Q（4，1）代入y=-x+b得-4+b=1，解得b=5，
∴直線的解析式為y=-x+5；

（2）解方程組

y=-x+5 y= 4 x

得

x=4 y=1

或

x=1 y=4

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）
當(dāng)1＜x＜4時(shí)，滿足-x+b＞

k

x

；
故答案1＜x＜4；

（3）把x=0代入y=-x+5得y=5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）；
把y=0代入y=-x+5得-x+5=0，解得x=5，則A點(diǎn)坐標(biāo)（5，0），B（0，5），
S_△OPQ=S_△OAB-S_△OBP-S_△OQA
=

1

2

×5×5-

1

2

×5×1-

1

2

×5×1
=

15

2

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．