Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CF=BF，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點F．
（1）求證：C是弧BD的中點；
（2）若AD=3，⊙O的半徑為4，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接AC，由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由CE⊥AB，利用同角的余角相等，可求得∠BCE=∠BAC，又由CF=BF，利用等邊對等角，可得∠BCE=∠DBC，即可判定∠BAC=∠DBC，則可得C是弧BD的中點；
（2）首先作CG⊥AD于點G，易證得Rt△BCE≌Rt△DCG可得AE=AB-BE=AG=AD+DG，即可求得BE的長，由△BCE∽△BAC，即可得BC²=BE•AB=20，繼而求得BC的長．
解答：（1）證明：如圖，連接AC，
∵CF=BF，
∴∠BCE=∠DBC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ABC=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
∴∠DBC=∠BAC，
∴=，
∴C是弧BD的中點；

（2）解：作CG⊥AD于點G，
∵C是弧BD的中點，
∴CD=CB，∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分線．
∴CE=CG，AE=AG．
在Rt△BCE與Rt△DCG中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL），
∴BE=DG，
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG，
∵AD=3，⊙O的半徑為4，
即 8-BE=3+DG，
∴2BE=5，即 BE=2.5，
又∵∠CBE=∠ABC，∠CEB=∠ACB=90°，
∴△BCE∽△BAC，
∴，
∴BC²=BE•AB=20，
解得：BC=±2（舍去負(fù)值），
∴BC=2．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．